Теорема Колмогорова

Теоре́ма Колмого́рова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — выборка объёма ${\displaystyle n}$ , порождённая случайной величиной, которая задаётся непрерывной функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$. Пусть ${\displaystyle F_{n}(x)}$ — выборочная функция распределения. Тогда

${\displaystyle {\sqrt {n}}\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\to K}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$,

где ${\displaystyle K}$  — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова.

Замечание

Неформально говорят, что скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу имеет порядок ${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$.

Определение границ доверительной зоны

Теорема Колмогорова очень часто применяется, чтобы определить границы, в которые с заданной вероятностью попадает теоретическая функция ${\displaystyle F(x)}$:

${\displaystyle P({\sqrt {n}}D_{n}\leq k_{\gamma })=P\left(F_{n}(x)-{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}}\leq F(x)\leq F_{n}(x)+{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}},x\in \mathbb {R} \right){\xrightarrow {n\to \infty }}K(k_{\gamma })=\gamma ,}$

${\displaystyle D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|,}$ где ${\displaystyle k_{\gamma }}$ — квантиль уровня ${\displaystyle \gamma }$ закона распределения Колмогорова.

Таким образом с вероятностью ${\displaystyle \gamma }$ при ${\displaystyle n\to \infty \quad F(x)}$ находится в указанном интервале.

Вероятность ${\displaystyle \gamma }$ называют уровнем значимости.

Область, определяемую этими границами, называют асимптотической ${\displaystyle \gamma }$-доверительной зоной для теоретической функции распределения.

Литература

• Боровков А. А. Математическая статистика. — Санкт-Петербург : Лань, 2010. — С. 390. — ISBN 978-5-8114-1013-2.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Распределение Колмогорова
• Теорема Гливенко — Кантелли.