Распределение Накагами

Распределе́ние Накага́ми или m-распределение Накагами — двупараметрическое одномерное распределение вероятности, связанное с гамма-распределением вероятностей.

Распределение Накагами
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	${\displaystyle \mu >=0.5}$ real) ${\displaystyle \omega >0}$ (real)
Носитель	${\displaystyle x>0}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {2\mu ^{\mu }}{\Gamma (\mu )\omega ^{\mu }}}x^{2\mu -1}\exp \left(-{\frac {\mu }{\omega }}x^{2}\right)}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {\gamma \left(\mu ,{\frac {\mu }{\omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (\mu )}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\mu +{\frac {1}{2}})}{\Gamma (\mu )}}\left({\frac {\omega }{\mu }}\right)^{1/2}}$
Медиана	нет приблизительно точной формы
Мода	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {(2\mu -1)\omega }{\mu }}\right)^{1/2}}$
Дисперсия	${\displaystyle \omega \left(1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {\Gamma (\mu +{\frac {1}{2}})}{\Gamma (\mu )}}\right)^{2}\right)}$

Предложена для исследования случайных процессов в линиях связи М. Накагами в 1960 г.

Определение

Распределение зависит от двух параметров ${\displaystyle \omega >0}$ и ${\displaystyle \mu \geq 1/2}$ и определено для всех ${\displaystyle x\geq 0}$. Функция плотности вероятности распределения^[1]:

${\displaystyle f(x;\,\mu ,\omega )={\frac {2\mu ^{\mu }}{\Gamma (\mu )\omega ^{\mu }}}x^{2\mu -1}\exp \left(-{\frac {\mu }{\omega }}x^{2}\right),}$

где ${\displaystyle \Gamma (\mu )}$ — гамма-функция.

Оценка параметров

Параметры ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \mu }$ оцениваются следующим образом^[2]:

${\displaystyle \mu ={\frac {\operatorname {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{\operatorname {Var} \left[X^{2}\right]}},}$

и

${\displaystyle \omega =\operatorname {E} \left[X^{2}\right].}$

История и применение

Распределение Накагами является относительно новым. Оно было предложено в 1960 году^[3]. Используется для моделирования замираний сигналов в беспроводных каналах связи при распространении сигнала по нескольким различным путям^[4].