Гамма-распределение

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр ${\displaystyle k}$ принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Гамма распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \Gamma (k,\theta )}$ или ${\displaystyle \Gamma (\alpha ,\beta )}$[1]
Параметры	${\displaystyle k>0,\;\theta >0}$
Носитель	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}$
Математическое ожидание	${\displaystyle k\theta }$
Медиана	Отсутствует явное выражение в замкнутой форме
Мода	${\displaystyle (k-1)\theta }$ при ${\displaystyle k\geq 1}$
Дисперсия	${\displaystyle k\theta ^{2}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle {\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle (1-\theta t)^{-k}}$ при ${\displaystyle t<{\frac {1}{\theta }}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle (1-\theta it)^{-k}}$

Определение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.,}$ где ${\displaystyle \Gamma (k)}$ — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет гамма-распределение с положительными параметрами ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle k}$. Пишут ${\displaystyle X\thicksim \Gamma (k,\theta )}$.

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей гамма-распределение, имеют вид

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=k\theta }$,

${\displaystyle \mathbb {D} [X]=k\theta ^{2}}$.

Свойства гамма-распределения

• Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n}$, то

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right)}$.

• Если ${\displaystyle X\thicksim \Gamma (k,\theta )}$, и ${\displaystyle a>0}$ — произвольная константа, то

${\displaystyle aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )}$.

• Гамма-распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

• Гамма-распределение является распределением Пирсона типа III^[2].
• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

${\displaystyle \Gamma (1,1/\lambda )\equiv \mathrm {Exp} (\lambda )}$.

• Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda ),\;i=1,\ldots ,k}$, то

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda )}$.

• Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}},2\right)\equiv \chi ^{2}(n)}$.

• Согласно центральной предельной теореме, при больших ${\displaystyle k}$ гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:

${\displaystyle \Gamma (k,\theta )\approx \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})}$ при ${\displaystyle k\to \infty }$.

• Если ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ — независимые случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2}$, то

${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim \mathrm {\mathrm {B} } (k_{1},k_{2})}$.

• Естественным обобщением гамма-распределения является усеченное гамма-распределение.

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение ${\displaystyle \Gamma (1,1)}$ совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то ${\displaystyle {-\ln U}\sim \Gamma (1,1)}$.

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),}$

где U_i — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < ${\displaystyle \delta }$ < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

1. Положить m равным 1.
2. Сгенерировать ${\displaystyle V_{2m-1}}$ и ${\displaystyle V_{2m}}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
3. Если ${\displaystyle V_{2m-1}\leq v_{0}}$, где ${\displaystyle v_{0}={\frac {e}{e+\delta }}}$, перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
4. Положить ${\displaystyle \xi _{m}=\left({\frac {V_{2m-1}}{v_{0}}}\right)^{\frac {1}{\delta }},\ \eta _{m}=V_{2m}\xi _{m}^{\delta -1}}$. Перейти к шагу 6.
5. Положить ${\displaystyle \xi _{m}=1-\ln {\frac {V_{2m-1}-v_{0}}{1-v_{0}}},\ \eta _{m}=V_{2m}e^{-\xi _{m}}}$.
6. Если ${\displaystyle \eta _{m}>\xi _{m}^{\delta -1}e^{-\xi _{m}}}$, то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
7. Принять ${\displaystyle \xi =\xi _{m}}$ за реализацию ${\displaystyle \Gamma (\delta ,1)}$.

Подытожим:

${\displaystyle \theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),}$

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); U_i и V_l распределены как указано выше и попарно независимы.