Расслоение на окружности

Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {S} ^{1}}$.

Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U(1)-расслоения. В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма. Расслоение на окружности является частным случаем расслоений на сферы^[англ.].

Как 3-многообразия

Расслоение на окружности поверхностей является важным примером 3-многообразий^[англ.]. Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта, которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий.

Отношение к электродинамике

Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю, представленному 2-формой F с ${\displaystyle \pi ^{\!*}F}$ гомологически эквивалентным^[англ.] нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A, электромагнитный потенциал, (эквивалентно, аффинная связность), такой, что

${\displaystyle \pi ^{\!*}F=dA.}$

Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция

${\displaystyle \pi :P\to M}$,

имеем гомоморфизм

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )}$,

где ${\displaystyle \pi ^{\!*}}$ является обратным образом. Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака. Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда. Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.

Примеры

• Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение поверхности является другим примером расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение неориентируемой поверхности является расслоением на окружности, которое не является главным расслоением ${\displaystyle U(1)}$. Только ориентируемые поверхности имеют главные сферические касательные расслоения.
• Другим методом для построения расслоения на окружности является использование комплексного линейного расслоения ${\displaystyle L\to X}$ и взятие ассоциированного расслоения на сферы (в данном случае — на окружности). Поскольку это расслоение имеет индуцированную ориентацию из ${\displaystyle L}$, получаем, что оно является главным расслоением ${\displaystyle U(1)}$^[1]. Более того, характеристические классы из теории Чженя — Вейля расслоений ${\displaystyle U(1)}$ согласуются с характеристическими классами ${\displaystyle L}$.
• Например, рассмотрим аналитификацию ${\displaystyle X}$ комплексной плоской кривой

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)}$

Поскольку ${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$ и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$, имеет класс Чженя ${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$.

Классификация

Классы изоморфности главных расслоений ${\displaystyle U(1)}$ многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами^[англ.] отображений ${\displaystyle M\to BU(1)}$, где ${\displaystyle BU(1)}$ называется классифицирующим пространством для U(1)^[англ.]. Заметим, что ${\displaystyle BU(1)=CP^{\infty }}$ является бесконечномерным комплексным проективным пространством^[англ.], и что оно является примером пространства Эйленберга-Маклейна^[англ.] ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$. Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ многообразия M, поскольку

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$.

Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера^[англ.]. Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного линейного расслоения^[англ.] (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$, комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)

Расслоение на окружности является главным расслоением ${\displaystyle U(1)}$ тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение ${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$ гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений ${\displaystyle M\to BO_{2}}$. Это следует из расширения групп ${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$, где ${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$.

Комплексы Делиня

Основная статья: Когомология Делиня

Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$, расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$, в то время как ${\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$ классифицирует линейные расслоения на снопы^[англ.].

См. также

• Спектральная последовательность