Расслоённое произведение

Расслоённое произведение (рассло́енное произведение, послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, англ. pullback) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: ${\displaystyle X\to Z\leftarrow Y}$. Расслоённое произведение часто обозначают как ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$.

Двойственное понятие — кодекартов квадрат.

Универсальное свойство

Для пары морфизмов ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ в категории ${\displaystyle C}$ расслоённое произведение ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ над ${\displaystyle Z}$ — это объект ${\displaystyle P=X\times _{Z}Y}$ вместе с морфизмами ${\displaystyle p_{1},p_{2},}$ для которых следующая диаграмма коммутативна:

Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта ${\displaystyle Q}$ с парой морфизмов ${\displaystyle q_{1}\colon Q\to X}$ и ${\displaystyle q_{2}\colon Q\to Y}$, дополняющих пару ${\displaystyle (f,g)}$ до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм ${\displaystyle u\colon Q\to P}$ такой, что коммутативна диаграмма:

Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}}$ называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$.

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

Примеры

В категории множеств расслоённое произведение множеств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ с отображениями ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ — это множество:

${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}}$

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец.

Также расслоённое произведение в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ можно описывать двумя асимметричными способами:

${\displaystyle X\times _{Z}Y}$

${\displaystyle \cong \bigsqcup _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]}$

${\displaystyle \cong \bigsqcup _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]}$,

где ${\displaystyle \bigsqcup }$ — дизъюнктное объединение множеств.

См. также

• Индуцированное расслоение

Литература

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• Городенцев А. Л. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. — М., 2015. — С. 160.
• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats. — Willey & Sons, 1990. — P. 524. — ISBN 0-471-60922-6.