Метрика Хаусдорфа

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ суть два непустых компактных подмножества метрического пространства ${\displaystyle M}$. Тогда расстояние по Хаусдорфу, ${\displaystyle d_{H}(X,\;Y)}$, между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ есть минимальное число ${\displaystyle r}$ такое, что замкнутая ${\displaystyle r}$-окрестность ${\displaystyle X}$ содержит ${\displaystyle Y}$ и также замкнутая ${\displaystyle r}$-окрестность ${\displaystyle Y}$ содержит ${\displaystyle X}$.

Замечания

Другими словами, если ${\displaystyle |xy|}$ обозначает расстояние между точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ то

${\displaystyle d_{H}(X,Y)=\max {\Big \{}\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}|xy|,\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}|xy|{\Big \}}.}$

Эквивалентное определение:

${\displaystyle d_{H}(X,Y)=\sup _{m\in M}{\big \{}|\operatorname {dist} _{X}(m)-\operatorname {dist} _{Y}(m)|{\big \}},}$

где ${\displaystyle \operatorname {dist} _{X}\colon M\to \mathbb {R} }$ обозначает функцию расстояния до множества ${\displaystyle X}$.

Свойства

Пусть ${\displaystyle F(M)}$ обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства ${\displaystyle M}$ с метрикой Хаусдорфа:

• Топология пространства ${\displaystyle F(M)}$ полностью определяется топологией ${\displaystyle M}$.
• (Теорема выбора Бляшке) ${\displaystyle F(M)}$ компактно тогда и только тогда, когда компактно ${\displaystyle M}$.
• ${\displaystyle F(M)}$ полно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M}$ полное.

Вариации и обобщения

• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
• В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ два компактных подмножества евклидова пространства, тогда ${\displaystyle D_{H}(X,\;Y)}$ определяется как минимум ${\displaystyle d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr )}}$ по всем движениям евклидова пространства ${\displaystyle I}$. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
• Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Литература

• Бляшке. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
• Хаусдорф «Теория множеств»
• Фейеш Тот, Ласло Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве// М., Физматгиз, 1958. 364 с. Тираж 4500 экз.