Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Несобственный интеграл

определённый интеграл, содержащий в определении бесконечность Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий.

  • Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком .
  • Функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.

Remove ads

Несобственные интегралы I рода

Суммиров вкратце
Перспектива
Thumb
Несобственный интеграл первого рода

Пусть определена и непрерывна на интервале и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

Remove ads

Несобственные интегралы II рода

Суммиров вкратце
Перспектива
Thumb
Несобственный интеграл Римана второго рода

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x = a и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x = b и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример

Remove ads

Отдельный случай

Суммиров вкратце
Перспектива

Пусть функция определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .

Тогда можно найти несобственный интеграл

Remove ads

Критерий Коши

1. Пусть определена на множестве от и .

Тогда сходится

2. Пусть определена на и .

Тогда сходится
Remove ads

Абсолютная сходимость

Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Remove ads

Условная сходимость

Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится.

Remove ads

См. также


Литература

Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads