Ломаная

Ло́маная (ло́маная ли́ния) — геометрическая фигура в пространстве, образованная конечным набором отрезков, расположенных так, что конец первого является началом второго, конец второго — началом третьего и т. д.; причём соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.^[1]

Сами отрезки называются сторонами ломаной, а их концы — вершинами ломаной. Ломаная обозначается последовательным указанием её вершин.

Определение

Ломаной ${\displaystyle A_{1}A_{2}\dots A_{n}}$ называется фигура, которая состоит из отрезков ${\displaystyle [A_{1}A_{2}]}$, ${\displaystyle [A_{2}A_{3}]}$, …, ${\displaystyle [A_{n-1}A_{n}]}$.

Точки ${\displaystyle A_{1}}$, …${\displaystyle A_{n}}$, называются вершинами ломаной, а отрезки ${\displaystyle [A_{1}A_{2}]}$, ${\displaystyle [A_{2}A_{3}]}$, …, ${\displaystyle [A_{n-1}A_{n}]}$ — сторонами (звеньями) ломаной.

Ломаная называется невырожденной, если для любого ${\displaystyle k\in \{1,2,\dots ,n-2\}}$ отрезки ${\displaystyle [A_{k}A_{k+1}]}$ и ${\displaystyle [A_{k+1}A_{k+2}]}$ не лежат на одной прямой;^{[источник не указан 837 дней]} в противном случае — вырожденной.^{[источник не указан 837 дней]}

Невырожденная ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₆

Типы ломаных

• Ломаная имеет самопересечение, если хотя бы два её несмежных звена имеют общую точку:

Самопересекающаяся ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₆

Изображённую здесь ломаную следует называть «ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₆».

• Ломаная называется замкнутой, если первая и последняя точки ломаной совпадают; в этом случае дополнительно требуют, чтобы отрезки ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ и ${\displaystyle A_{n-1}A_{n}}$ также не лежали на одной прямой:

Замкнутая ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₁

Замкнутую плоскую ломаную часто называют многоугольником: в этом случае изображённая ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₁ будет называться «многоугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₁», а звенья будут называться сторонами многоугольника. В ряде случаев, например, при рассмотрении многогранников, стороны многоугольника называются рёбрами.

Свойства ломаной

Длиной ломаной называется сумма длин её сторон.

• Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

См. также

• Многоугольник