Связанные состояния в континууме

Связанные состояния в континууме (ССК) или локализованные состояния в континууме (ЛСК), англ. bound state in the continuum (BIC) — это собственное состояние какой-либо квантовомеханической или другой открытой системы, обладающее следующими свойствами:

1. Энергия лежит в области непрерывного спектра (континуума) распространяющихся мод окружающего пространства;
2. Состояние не взаимодействует ни с одним из состояний континуума (не может излучать плоскую, цилиндрическую или сферическую волну и не может возбуждаться никакой волной), а значит обладает бесконечным временем жизни (добротностью) и вещественной энергией в отсутствие безызлучательных потерь.

Схематичное изображение энергетических уровней и примеры различных состояний. Показаны состояния, принадлежащие дискретному спектру (зеленым), резонансные состояния (синий пунктир)^[1] и связанные состояния в континууме (красным). Частично воспроизведено из^[2] и^[3]

В силу волновой природы, этот феномен наблюдается не только в квантовой механике, но также в фотонике, в теории упругости и т.д. Связанные состояния в запрещённой зоне, где нет конечных решений на бесконечности, широко известны (атомы, квантовые точки, дефекты в полупроводниках). Однако, CCK не следует путать с обычными связанными состояниями. Для решений в континууме, которые связаны с этим континуумом, известны резонансные^[1] состояния, которые распадаются (теряют энергию) со временем. Они могут возбуждаться падающей волной с той же энергией, и к ним относятся, например, собственные моды открытых оптических резонаторов^[4]. В отличие от резонансных состояний, связанные состояния в континууме имеют вещественные собственные значения энергии и поэтому не взаимодействуют с состояниями непрерывного спектра и не могут распадаться^[2]. Кроме того, ССК не следует путать с собственными состояниями таких систем как потенциальная яма с бесконечными стенками или резонатор с идеально проводящими стенками, поскольку такие системы не являются открытыми по определению.

Классификация

Классификация локализованных состояний в континууме по механизму возникновения^[2]

Тип ССК	Объяснение, подтипы	Примеры
ССК, возникающие при решении «обратной задачи»	1) ССК Вигнера — фон Неймана (Potential engineering): волновая функция одного из состояний континуума модифицируется так, чтобы быть нормируемой, и для неё подбирается соответствующий потенциал. 2) Модифицирование амплитуды перескока (англ. Hopping rate engineering): В приближении сильной связи скорости перескока модифицируются таким образом, чтобы состояние стало локализованным 3) Модифицирование формы границ: источники в ССК, например, Фабри — Перо типа заменяются на рассеиватели таким образом, чтобы создавать ССК того же типа.	1) В работе фон Неймана и Вигнера[5] рассматривается два типа сферически-симметричных потенциалов, при этом в потенциале ${\displaystyle V(r)={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}}$ локализация происходит за счет «отражения» от бесконечности (т.к. на бесконечность материальная точка уходит за конечное время, скатываясь с этого потенциала, и вероятность нахождения там стремится к нулю). Аналогичный пример в 1D рассматривает экспоненциальную зависимость потенциала[6]. Второй тип потенциала[7][8] имеет сложную форму, но при этом периодически модулируется с периодом ${\displaystyle \pi }$. Волновая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$ отражается от такого потенциала в центр по аналогии с отражением от брэгговского зеркала. В одномерном случае такие потенциалы могут быть реализованы с помощью сверхрешеток[9][10]. 2) ССК второго типа были реализованы в массиве связанных оптических волноводов[11], при этом амплитуда перескока модулируется расстоянием между волноводами. Экспериментально было реализовано состояние с амплитудами ${\displaystyle \kappa _{n}=\left\{{\begin{array}{ll}\kappa &n\neq 2l\\\left({\frac {l+1}{l}}\right)\kappa &n=2l,(l=1,2,3,\ldots )\end{array}}\right.}$ в системе из 40 волноводов. Также, существуют примеры ССК в решетках с PT-симметрией[12][13]. 3) ССК третьего типа в наблюдаются в волнах на воде[14][15][16][17].
ССК, возникающие при изменении параметров (parameter tuning)	1) Фабри — Перо ССК: Для резонансных структур коэффициент отражения вблизи резонанса может достигать единицы. Две такие структуры можно расположить таким образом, чтобы они излучали в противофазе и компенсировали друг друга. 2) ССК Фридриха — Винтгена(Friedrich-Wintgen)[18]: Две моды одинаковой симметрии одной и той же структуры сближаются при изменении параметров структуры, и в какой-то момент возникает антипересечение. При этом на одной из ветвей образуется ССК так как моды как бы компенсируют друг друга, находясь в противофазе и излучая в один и тот же радиационный канал[19]. 3) Параметрические ССК на одиночном резонансе (Single-resonance parametric BICs): Возникают тогда, когда одну моду можно представить в виде суммы вкладов[20], каждый из которых меняется в зависимости от параметров структуры. В какой-то момент происходит деструктивная интерференция всех вкладов.	1) Помимо волн на воде, упомянутых выше, состояния этого типа встречаются во многих системах, например, в системах пар квантовых точек, связанных с волноводом [21][22], двойных цепочках из атомов меди[23], пар волноводов Z- и П- формы [24] В фотонике состояния реализуются, например, в парах двумерных фотонных кристаллов на основе планарных оптических волноводов[25], двойных массивах диэлектрических цилиндров[26] и т. п.[27] 2) ССК Фридриха — Винтгена (ФВ ССК) рассматривались в атоме водорода в магнитном поле[28] и экспериментально проявлялись в подавлении автоионизации атома бария[29], топологических изоляторах с дефектом[30] и многих других квантовых системах[31][32]. Также этот тип ССК встречается в двумерных и трехмерных цилиндрических открытых акустических резонаторах[33][34]. В фотонике случайные (accidental) ССК в периодических структурах могут иногда появляться как ФВ ССК[35][36], также моды такого типа появлялись в брэгговском волноводе при взаимодействии ТЕ и ТМ волн через анизотропную среду[37]. Примечательным примером является теоретическая реализация ССК на слоистой сферической наночастице из специфически подобранных материалов[38][39], при этом ССК появляются за счет взаимодействия различных дипольных мод одной и той же частицы. По тому же механизму могут быть реализованы высокодобротные состояния и в несферических диэлектрических резонаторах[40][41], но в этом случае моды состоят из бесконечного числа мультиполей[42], а добротность не уходит полностью в бесконечность. 3) ССК этого типа, в основном, рассматриваются в планарных фотонных кристаллах[43] и также являются случайными (accidental BICs). Они могут возникать, когда структура, лежащая в плоскости ${\displaystyle xy}$, обладает элементами симметрии ${\displaystyle {C_{2}}^{z}}$ и ${\displaystyle \sigma _{z}}$[44], однако их существование не гарантируется симметрией, они возникают при определённых параметрах структуры. Помимо фотонных периодических структур[45][46], ССК встречаются для волн на воде[47], квантовых волноводах[48], механических резонаторах[49], в виде поверхностных волн[50] и др.
Симметрийно-защищенные ССК	Возникают, когда симметрия собственного состояния отличается от любой из возможных симметрий распространяющихся мод в континууме.	В простом случае, состояния такого типа наблюдаются в Г-точке планарных фотонных кристаллов, обладающих симметрией ${\displaystyle {C_{n}}^{z}}$[51][52][53]. Часто, в тех же самых структурах существуют и другие типы ССК. Также симметрийно-защищенные ССК наблюдались в системах связанных волноводов.[54][55]
Разделяемые ССК (separable BICs)	Возникают в случае, когда задача на собственные значения решается методом разделения переменных, а волновая функция представима, например, в виде ${\displaystyle \psi =\psi _{1}(x)\psi _{2}(y)}$, где оба множителя соответствуют локализованным состояниям, при этом суммарная энергия лежит в континууме.	Гамильтониан для получения этого типа ССК был впервые предложен Робником[56] и затем изучался в различных квантовых системах[57][58] и двумерных фотонных структурах[59][60]

ССК Вигнера — фон Неймана

Впервые связанные состояния в континууме были предсказаны в 1929 году в работе Юджина Вигнера и Джона фон Неймана^[5]. Были рассмотрены два потенциала, в которых существует ССК, появляющееся по двум различным причинам.

В этой работе сначала выбирается сферически-симметричная волновая функция таким образом, чтобы быть квадратично-интегрируемой по всему пространству. Затем подбирается такой потенциал, чтобы эта волновая функция соответствовала нулевому значению энергии.

Потенциал является сферически-симметричным, тогда волновое уравнение запишется следующим образом:

${\displaystyle -{\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}m}}\Delta \psi +(V(r)-E)\psi =0,}$

при этом исчезают производные по углам, так как мы ограничиваемся рассмотрением только сферически-симметричных волновых функций:

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}},}$

Для того, чтобы ${\displaystyle E=0}$ была собственным значением для сферически-симметричной волновой функции ${\displaystyle \psi =\psi (r)}$, потенциал должен быть

${\displaystyle V={\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}m}}\left({\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}+{\frac {2\psi ^{\prime }}{r\psi }}\right)}$.

Получим конкретные значения ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle V}$, для которых будет наблюдаться ССК.

Первый случай

Потенциал и волновая функция, соответствующая нулевой энергии, для первого случая ССК Вигнера-фон Неймана

Рассмотрим функцию ${\displaystyle \psi =r^{\alpha }{\sin r^{\beta }}}$. Поскольку интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}|\psi (r)|^{2}{\text{d}}r=\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2\alpha +2}{\sin ^{2}r^{\beta }}{\text{d}}r}$ должен быть конечным, то рассматривая поведение при ${\displaystyle r=0}$, получим, что ${\displaystyle 2\alpha +\beta +2>-1}$, рассматривая поведение при ${\displaystyle r=\infty }$, получим, что ${\displaystyle 2\alpha +2<-1}$. Регулярность ${\displaystyle V(r)}$ для ${\displaystyle r\neq 0}$ требует ${\displaystyle 2\alpha +\beta +1=0}$. В итоге получаем ${\displaystyle \alpha =-2,\ \beta =3}$.

Положим ${\displaystyle \psi (r)={\frac {\sin r^{3}}{r^{2}}}}$, тогда потенциал будет равен (отбросив несущественный множитель ${\displaystyle {h^{2}}/{8\pi ^{2}m}}$):

${\displaystyle V(r)={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}}$

Собственная функция и потенциальная кривая показаны на рисунке. Кажется, что электрон просто скатится с потенциала и энергия будет принадлежать сплошному спектру, однако существует стационарная орбита с ${\displaystyle E=0}$.

В работе^[5] дана следующая интерпретация: такое поведение можно понять, исходя из аналогии с классической механикой (соображения принадлежат Лео Силарду). Движение материальной точки в потенциале ${\displaystyle V={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}}$ описывается следующим уравнением:

${\displaystyle {{\frac {m}{2}}\left({\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+V(r)=\mathrm {Const} }}$

${\displaystyle {{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}\mathrm {Const} -{\frac {4}{m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {18}{m}}r^{4}}}}}$

Легко понять, что когда ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$, ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}\rightarrow \infty }$, и тогда асимптотика

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\sqrt {m}}}r^{2};\ \ \ \ \ \ \ {\frac {1}{r}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\sqrt {m}}}\left(t_{0}-t\right),\ \ }$ ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {m}}{3{\sqrt {2}}\left(t_{0}-t\right)}}}$

то есть, за конечное время ${\displaystyle t=t_{0}}$ точка уходит на бесконечность. Стационарное решение ${\displaystyle \psi (r)}$ означает, что точка снова возвращается из бесконечности, что она оттуда как будто отражается и начинает колебаться. То, что ${\displaystyle \psi (r)}$ при ${\displaystyle r=\infty }$ стремится к нулю, следует из того, что она скатывается с большой потенциальной горки и обладает огромной скоростью, а значит коротким временем жизни. И поскольку весь колебательный процесс (из ${\displaystyle r_{min}}$ на бесконечность и обратно) периодический, то логично, что эта квантово-механическая задача обладает стационарным решением.

Второй случай

a) Потенциал и волновая функция (в произвольном масштабе по вертикальной оси), соответствующая нулевой энергии, для второго случая ССК Вигнера фон-Неймана, ${\displaystyle A=1.5}$ b) ${\displaystyle A=15}$.

Перейдем ко второму примеру, который уже нельзя интерпретировать из таких соображений.

Для начала, возьмем функцию ${\displaystyle \psi ={\frac {\sin r}{r}}}$, тогда ${\displaystyle V=-1}$. Это расходящиеся сферические волны, поскольку энергия ${\displaystyle E=0}$ больше, чем потенциал ${\displaystyle V=-1}$, классическая кинетическая энергия остается положительной. Волновая функция принадлежит непрерывному спектру, интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}|\psi (r)|^{2}{\text{d}}r=4\pi \int _{0}^{\infty }\sin ^{2}r{\text{d}}r}$ расходится. Попробуем поменять волновую функцию таким образом, чтобы квадратичный интеграл сошелся, а потенциал варьировался вблизи −1.

Рассмотрим следующий анзац:

${\displaystyle \psi ={\frac {\sin r}{r}}f(r)}$

Если функция ${\displaystyle f(r)}$ непрерывна, и при ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ асимптотика равна ${\displaystyle r^{\alpha },\ \ \alpha <-1/2}$, то интеграл будет конечным. Потенциал при этом будет равен (с исправленной арифметической ошибкой в оригинальной статье)^[61]:

${\displaystyle V=-1+2\operatorname {ctg} r{\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}}+{\frac {f^{\prime \prime }(r)}{f(r)}}.}$

Для того, чтобы потенциал оставался вблизи −1, и при ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ стремился к −1, мы должны функции ${\displaystyle \operatorname {ctg} r{\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}},\ {\frac {f^{\prime \prime }(r)}{f(r)}}}$ сделать малыми и при ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ устремить к нулю.

В первом случае также ${\displaystyle {\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}}}$ должна исчезать для ${\displaystyle \operatorname {ctg} r=\infty }$, а именно для ${\displaystyle r=0,\pi ,\ 2\pi ,\ 2\pi ,\dots }$, то есть для ${\displaystyle \sin r=0}$. Это случай, когда ${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{r}\sin ^{2}r{\text{d}}r={\frac {r}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2r}$ или любая другая функция этого выражения.

Положим ${\displaystyle f(r)=[A^{2}+({\frac {r}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2r)^{2}]^{-1}}$, где ${\displaystyle A}$ произвольна (здесь ${\displaystyle f(r)}$ при ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ стремится к ${\displaystyle r^{\alpha },\ \ \alpha <-1/2}$). Тогда

${\displaystyle \psi ={\frac {\sin r}{r(A^{2}+(2r-\sin 2r)^{2})}}.}$

Выражение для потенциала является громоздким, но из графиков видно, что для ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ потенциал стремится к −1. Кроме того, оказывается, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ можно выбрать такое A, что потенциал будет находиться между ${\displaystyle -1-\varepsilon }$ и ${\displaystyle -1+\varepsilon }$. Можно видеть, что потенциал колеблется с периодом ${\displaystyle \pi }$, а волновая функция — с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Получается, что все отраженные волны от «горбов» такого потенциала находятся в фазе, и функция локализуется в центре, отражаясь от потенциала по механизму, похожему на отражение от брэгговского зеркала.