Сегмент (геометрия)

Эта статья — о сегменте плоской кривой. О сегменте шара см. Сферический сегмент.

Сегмент плоской кривой — плоская (обычно выпуклая) фигура, заключённая между кривой и её хордой^[1].

Четыре сегмента плоской кривой.

Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой: сегмент круга.

Характеристики

Основные характеристики сегмента кривой — его ширина, высота, площадь и длина границы.

Сегмент круга

Сегмент круга закрашен зелёным цветом.

Основная статья: Сегмент круга

Длина хорды ${\displaystyle c}$ сегмента круга радиуса ${\displaystyle R}$ и высоты ${\displaystyle h}$ вычисляется по теореме Пифагора:

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

Площадь ${\displaystyle S}$ сегмента круга радиуса ${\displaystyle R,}$ опирающегося на центральный угол ${\displaystyle \textstyle \theta }$ (в радианах)^[2]:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}R^{2}(\theta -\sin \theta )}$

Сегмент параболы

Площадь сегмента параболы

Архимед в III веке до н. э. доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Сегмент эллипса

Сегмент эллипса (выделен зелёным цветом)

Основная статья: Эллипс

Пусть эллипс задан каноническим уравнением:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точку с абсциссой ${\displaystyle x,}$ можно определить по формуле^[3]:

${\displaystyle S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right).}$

Другие виды плоских сегментов

Задача нахождения площади и длины дуги произвольного сегмента требует применения методов интегрального исчисления, которое исторически было создано именно для этой цели.

Площадь

Вычисление площади сегмента кривой

Для вычисления площади сегмента чаще всего удобно выбрать соответствующую хорду кривой в качестве оси абсцисс. Тогда площадь сегмента, то есть площадь под кривой ${\displaystyle y=f(x)}$, пересекающей ось абсцисс в точках a и b, равна:

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$

Например, площадь под первой аркой синусоиды вычисляется как интеграл:

${\displaystyle S=\int \limits _{0}^{\pi }{\sin xdx}=-\cos(\pi )+\cos(0)=2}$

Другой пример: площадь сегмента (арки) циклоиды, порождённой кругом радиуса ${\displaystyle R,}$ равна ${\displaystyle 3\pi R^{2},}$ то есть втрое больше площади порождающего круга^[4].

Длина дуги

Длина произвольной кривой, в том числе дуги сегмента, вычисляется по формуле

${\displaystyle L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left(f'\left(x\right)\right)^{2}}}\,dx}$

Например, для вычисления длины первой арки синусоиды необходимо вычислить нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, который не берётся явно. Поэтому для вычисления подобных интегралов сегодня обычно сразу используют численное интегрирование.