Парабола

У этого термина существуют и другие значения, см. Парабола (значения).

Пара́бола (греч. παραβολή — приближение^[1]) — плоская кривая, один из типов конических сечений.

Парабола
Парабола как коническое сечение
Парабола, её фокус и директриса
Эксцентриситет	${\displaystyle e=1}$
Уравнения
${\displaystyle {\begin{aligned}&y=x^{2}\\&y=ax^{2}+bx+c\\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\\&\quad (B^{2}-4AC=0)\end{aligned}}}$
Другие конические сечения
Гипербола Парабола Эллипс Окружность

Определение

Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок)^[2].

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Парабола в семействе конических сечений

Вершина

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

${\displaystyle \textstyle y^{2}=2px,p>0}$ (или ${\displaystyle \textstyle x^{2}=2py}$, если поменять местами оси координат).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[3]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии ${\displaystyle {\frac {p}{2}}}$ от обоих.

Вывод

Уравнение директрисы PQ: ${\displaystyle \textstyle x+{\frac {p}{2}}=0}$, фокус F имеет координаты ${\displaystyle \left({\frac {p}{2}};0\right).}$ Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку ${\displaystyle {\textrm {KM=KD+DM}}={\frac {p}{2}}+x}$ и ${\displaystyle {\textrm {FM}}={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}}$, то равенство приобретает вид: ${\displaystyle {\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x.}$ После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение ${\displaystyle y^{2}=2px.}$

Парабола, заданная квадратичной функцией

Визуализация квадратичной параболы

Квадратичная функция ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ при ${\displaystyle a\neq 0}$ также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и ${\displaystyle y=ax^{2},}$ но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

${\displaystyle x_{\textrm {A}}=-{\dfrac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\dfrac {\mathcal {D}}{4a}},}$ где ${\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac}$ — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ может быть представлено в виде ${\displaystyle y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}},}$ а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом ${\displaystyle p={\frac {1}{|2a|}}.}$

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант ${\displaystyle B^{2}-4AC}$ равен нулю.

Уравнение в полярной системе

Парабола в полярной системе координат ${\displaystyle (\rho ,\vartheta )}$ с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

${\displaystyle \rho (1-\cos \vartheta )=p,}$

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Уравнение в подерной системе

Парабола в подерной системе координат ${\displaystyle (r,p)}$ с центром в фокусе и параметром ${\displaystyle a}$, равным расстоянию от фокуса до вершины параболы, может быть представлена следующим уравнением^[4]:

${\displaystyle p^{2}=ar.}$

Расчёт коэффициентов квадратичной функции

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ известны координаты трёх различных точек параболы ${\displaystyle (x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),}$ то его коэффициенты могут быть найдены так:

${\displaystyle a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}$

Если же заданы вершина ${\displaystyle (x_{0};y_{0})}$ и старший коэффициент ${\displaystyle a}$, то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

${\displaystyle b=-2ax_{0}}$

${\displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}}$

${\displaystyle x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$

${\displaystyle x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$

Свойства

Отражательное свойство параболы (оптика)

Расстояние от P_n до фокуса F такое же, как и от P_n до Q_n (на директрисе L)

Длина линий FP_nQ_n одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия^[5].
• Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

Связанные определения

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Подера параболы

Обзорная статья: Подера

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости^[6].

• Подеры параболы
• 
  Прямая — полюс подеры в фокусе параболы
• 
  Циссоида Диокла — полюс подеры на вершине параболы
• 
  Строфоида ${\displaystyle {\scriptstyle (y+1)(x^{2}+y(y+1))+x^{2}=0}}$ — полюс подеры в центре директрисы параболы ${\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}$
• 
  Офиурида ${\displaystyle {\scriptstyle (y+1)(x(x-2)+y(y+1))+(x-2)^{2}=0}}$ — полюс подеры не в центре директрисы параболы ${\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}$
• 
  Прямая конхоида Слюза ${\displaystyle {\scriptstyle (y-4)(x^{2}+y(y-4))+x^{2}=0}}$ — полюс подеры внутри на оси не в фокусе параболы ${\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}$
• 
  Конхоида Слюза ${\displaystyle {\scriptstyle (y-4)(x(x-2)+y(y-4))+(x-2)^{2}=0}}$ — полюс подеры внутри не на оси параболы ${\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}$

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде^[6]:

${\displaystyle y^{2}=4px,}$ или ${\displaystyle x^{2}=4py,}$

где ${\displaystyle p}$ — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы ${\displaystyle y^{2}=4px}$ относительно произвольного полюса ${\displaystyle (a,\;b)}$ есть дефективная гипербола с двойной точкой ${\displaystyle (a,\;b)}$, асимптотой ${\displaystyle a-p}$ и следующим уравнением^[7][6]:

${\displaystyle (x-a)(y(y-b)+x(x-a))+p(y-b)^{2}=0.}$

Другими словами, имеет место следующее утверждение^[7]:

подера параболы — это рациональная циркулярная кривая 3-го порядка.

Доказательство^[7]

Найдём вещественное неявное уравнение ${\displaystyle f(x,\;y)}$ подеры параболы ${\displaystyle y^{2}=4px}$ относительно полюса ${\displaystyle (a,\;b)}$. Текущая точка кривой — ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$.

Уравнение касательной к параболе ${\displaystyle x={\frac {y^{2}}{4p}}}$ запишем в виде

${\displaystyle x-x_{0}=x'_{0}(y-y_{0}),}$

${\displaystyle x={\frac {y_{0}^{2}}{4p}}+{\frac {y_{0}}{2p}}(y-y_{0}),}$

${\displaystyle x=my-m^{2}p,\quad }$ ${\displaystyle m={\frac {y_{0}}{2p}},}$

а уравнение нормали, проходящей через полюс ${\displaystyle (a,\;b)}$, —

${\displaystyle x-a=-{\frac {1}{m}}(y-b).}$

Уберём ${\displaystyle m}$, получим искомое уравнение:

${\displaystyle m=-{\frac {y-b}{x-a}},}$

${\displaystyle x(x-a)^{2}=-y(y-b)(x-a)-p(y-b)^{2}.}$

Имеют место три разных случая, в которых дефективная гипербола выступает тремя разными частными случаями^[6][7]:

• полюс подеры находится на параболе. Тогда полюс — точка возврата подеры;

• если полюс лежит на касательной к вершине параболы, то подера — офиурида^[8];

• если полюс совпадает с вершиной параболы, то подера — циссоида;

• полюс подеры находится во внешности параболы. Тогда полюс — узловая точка подеры;

• в частности, если полюс находится на директрисе параболы, то подера — строфоида;

• полюс подеры находится внутри параболы. Тогда полюс — мнимая изолированная точка подеры;

• если полюс лежит на оси симметрии параболы, но не совпадает с фокусом параболы, то подера — конхоида Слюза^[9];
• если полюс совпадает с фокусом параболы, то подера состоит из трёх прямых на комплексной проективной плоскости:

• действительной прямой, которая касается параболы в её вершине;
• две мнимые прямые, которые пересекаются в фокусе параболы.

Вариации и обобщения

Графики степенной функции ${\displaystyle y=x^{n}}$ при натуральном показателе ${\displaystyle n>1}$ называются параболами порядка ${\displaystyle n}$^[10][11]. Ранее рассмотренное определение соответствует ${\displaystyle n=2,}$ то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при ${\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}}$;

Параболы в физическом пространстве

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

• 
  Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
• 
  Падение баскетбольного мяча
• 
  Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США
• 
  Параболические траектории струй воды
• 
  Вращающийся сосуд с жидкостью
• 
  Парабола — антиподера прямой