Сильная двойственность

Сильная двойственность — это условие математической оптимизации, в котором оптимальные значения для прямой и двойственной задач равны. Это противоположно понятию слабой двойственности, когда прямая задача имеет оптимальное значение, не меньшее, чем у двойственной задачи, то есть разрыв двойственности больше либо равно нулю.

Описание

Сильная двойственность выполняется тогда и только тогда, когда разрыв двойственности равен 0.

Достаточные условия

Достаточные условия строгой двойственности:

• ${\displaystyle F=F^{**}}$, где ${\displaystyle F}$ является функцией возмущений^[англ.] для прямой и двойственной задач, а ${\displaystyle F^{**}}$ является второй сопряжённой функцией для ${\displaystyle F}$ (следует из построения разрыва двойственности)
• ${\displaystyle F}$ является выпуклой и полунепрерывной снизу (эквивалентно первому пункту согласно теореме Фенхеля — Моро)
• Прямая задача является задачей линейного программирования
• Условие Слейтера для задачи выпуклой оптимизации^[1][2].

См. также

• Выпуклое программирование