Симплициальная категория

Симплициальная категория (также симпле́кс-категория, ординальная категория)^[1] — категория непустых конечных ординалов, морфизмы которой — монотонные функции. Играет важную роль в алгебраической топологии^[2], является основной для таких конструкций, как симплициальный объект и симплициальное множество.

Симплициальная категория ${\displaystyle \Delta }$ (иногда используется обозначение ${\displaystyle \mathbf {Ord} }$^[3]) строится из объектов вида ${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\}}$, где ${\displaystyle n}$ — натуральное число, и морфизмов ${\displaystyle f:[n]\to [n']}$ таких, что из ${\displaystyle i\leqslant j}$ следует ${\displaystyle f(i)\leqslant f(j)}$. Иными словами, объектами симплициальной категории являются конечные порядковые числа, а морфизмы — нестрого монотонные функции между ними. Порядковое число ${\displaystyle [0]}$ является начальным объектом категории, а ${\displaystyle [1]}$ — терминальным.

Свойства

Любой морфизм симплициальной категории может быть порождён композицией морфизмов^[4] (${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}$):

${\displaystyle \delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]}$,

${\displaystyle \sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]}$,

определённых следующим образом:

${\displaystyle \delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}}$ (возрастающее инъективное отображение, «пропускающее» ${\displaystyle i}$),

${\displaystyle \sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}}$ (неубывающее сюръективное отображение, принимающее значение ${\displaystyle i}$ дважды).

Более того, для всякого ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])}$ единственно представление:

${\displaystyle f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n-s+1}\sigma _{j_{t}}^{m-t}\dots \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}}$,

где ${\displaystyle 0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n}$, ${\displaystyle 0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m}$, ${\displaystyle n=m-t+s}$.

Эти морфизмы удовлетворяют следующим соотношениям:

${\displaystyle \delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}}$, если ${\displaystyle i<j}$,

${\displaystyle \sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}}$, если ${\displaystyle i\leqslant j}$,

${\displaystyle \sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j-1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\delta _{i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}}$

Данные соотношения однозначно определяют морфизмы ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \sigma }$.

Связанные определения

Порядковое сложение — бифунктор ${\displaystyle +:\Delta \times \Delta \to \Delta }$, определённый на порядковых числах как обычное сложение:

${\displaystyle [n]+[n']=[n+n']}$,

а для морфизмов ${\displaystyle f:[n]\to [n']}$ и ${\displaystyle g:[m]\to [m']}$ по следующей схеме:

${\displaystyle (f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(i-n),&n\leqslant i\leqslant n+m-1\end{cases}}}$.

Симплициальная категория с порядковым сложением образует строго моноидальную категорию.

В приложениях также используется пополненная симплициальная категория (англ. augmented simplicial category) ${\displaystyle \Delta _{+}}$ — симплициальная категория, дополненная ординалом ${\displaystyle [-1]=\varnothing }$: ${\displaystyle \Delta _{+}=\Delta \cup [-1]}$. Иногда пополненную симплициальную категорию называют алгебраической симплициальной категорией, в этом случае ${\displaystyle \Delta }$ называют топологической.