Симплициальное множество

Симплициальное множество (в ранних источниках — полусимплициальный компле́кс) — теоретико-категорная конструкция, обобщающая понятие симплициального комплекса и в определённом смысле моделирующая понятие топологического пространства с «хорошими» свойствами: теория гомотопий для симплициальных множеств эквивалентна классической теории гомотопий для топологических пространств. Является чисто алгебраической конструкцией, обеспечивающей практически полный параллелизм с геометрическими объектами; в связи с этим считается одним из важнейших объектов в алгебраической топологии как с методологической точки зрения, так и с инструментальной^[1].

С точки зрения теории категорий определяется как симплициальный объект^[англ.] из категории множеств, или, эквивалентно, как предпучок симплициальной категории в категорию множеств.

Определения и структура

Симплициальное множество ${\displaystyle X}$ — контравариантный функтор из симплициальной категории в категорию множеств: ${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$.

Так как всякий морфизм симплициальной категории порождается морфизмами ${\displaystyle \delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]}$ и ${\displaystyle \sigma _{i}^{n}\colon [n+1]\to [n]}$ (${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}$), определёнными как^[2]:

${\displaystyle \delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}}$,

${\displaystyle \sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}}$,

то симплициальное множество может быть сконструировано как система ${\displaystyle n}$-х слоёв ${\displaystyle X_{n}}$, связанных соответствующими (двойственными к ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \sigma }$) отображениями ${\displaystyle d_{i}^{n}\colon X_{n}\to X_{n-1}}$ и ${\displaystyle s_{i}^{n}\colon X_{n}\to X_{n+1}}$, удовлетворяющих соотношениям:

${\displaystyle d_{i}^{n}d_{j}^{n+1}=d_{j-1}^{n}d_{i}^{n+1}}$, если ${\displaystyle i<j}$,

${\displaystyle s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1}}$, если ${\displaystyle i\leqslant j}$,

${\displaystyle d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1}d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}}$.

Точки слоя ${\displaystyle X_{n}}$ называются ${\displaystyle n}$-мерными симплексами, притом точки слоя ${\displaystyle X_{0}}$ — вершинами, а слоя ${\displaystyle X_{1}}$ — рёбрами. Морфизмы ${\displaystyle d_{i}^{n}}$ называются операторами граней, а морфизмы ${\displaystyle s_{j}^{n}}$ — операторами вырождения.

Симплициальное отображение — (функторный) морфизм между симплициальными множествами ${\displaystyle f\colon X\to X'}$, симплициальное отображение также может быть рассмотрено как совокупность слоёв ${\displaystyle f_{n}\colon X_{n}\to X_{n}'}$, притом выполнено:

${\displaystyle d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n}}$ (${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}$),

${\displaystyle s_{i}^{n}f_{n}=f_{n+1}s_{i}^{n}}$ (${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}$).

Симплициальное множество ${\displaystyle X}$ называется симплициальным подмножеством ${\displaystyle X'}$, если все слои ${\displaystyle f_{n}\colon X_{n}\to X_{n}'}$ симплициального отображения ${\displaystyle f\colon X\to X'}$ инъективны; в этом случае операторы граней и операторы вырождения в ${\displaystyle X}$ являются сужениями соответствующих операторов для ${\displaystyle X'}$.

Симплициальное фактормножество — конструкция, получаемая послойной факторизацией симплициального множества, то есть ${\displaystyle X/\sigma }$ — набор слоёв ${\displaystyle X_{n}/\sigma }$, притом операторы граней и вырождения слоёв-фактормножеств индуцируются соответствующими операторами множества ${\displaystyle X}$.

Симплициальные множества со всевозможными симплициальными отображениями между ними образуют категорию ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}}$^[3].

Мотивация

Примеры

Свойства

Категория симплициальных множеств допускает прямые и обратные пределы, вычисляемые послойно. В частности, для любых симплициальных множеств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle X'}$ определены прямое произведение ${\displaystyle X\times X'}$ и прямая сумма (раздельное объединение) ${\displaystyle X\oplus X'}$, притом для всех слоёв:

${\displaystyle (X\times X')_{n}=X_{n}\times X'_{n}}$,

${\displaystyle (X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}}$.

Геометрическая реализация

Косимплициальное множество

Также используется двойственное понятие косимплициального множества — функтора из симплициальной категории в категорию множеств: ${\displaystyle \Delta \to \mathbf {Set} }$. Косимплициальные множества имеют аналогичную послойную структуру с операторами граней и вырождения (двойственных к соответствующим операторам симплициальных множеств) и образуют категорию ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta }}$.