Система линейных дифференциальных уравнений

Система линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) — система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая является линейной относительно всех искомых функций ${\displaystyle y_{i}(x)}$ и их производных всех порядков. Такую систему можно преобразовать к линейной системе первого порядка канонического вида, которую обычно и определяют, как СЛДУ.

Определение

Если в системе ${\displaystyle n}$ дифференциальных уравнений имеется производная ${\displaystyle y_{i}^{(k+1)},k>0}$, то можно добавить новую искомую функцию ${\displaystyle y_{n+1}}$, определяемую новым линейным уравнением ${\displaystyle y_{i}^{(k)}=y_{n+1}}$. Заменой ${\displaystyle y_{i}^{(k+1)}=y_{n+1}'}$ в остальных уравнениях производная${\displaystyle y_{i}^{(k+1)}}$ исключается из системы. Последовательное выполнение этих операций для линейной системы приводит к линейной системе первого порядка. В линейной системе каждую производную можно подстановкой исключить из всех уравнений кроме одного. Поэтому систему линейных дифференциальных уравнений обычно определяют, как систему вида ^[1]

${\displaystyle y'_{j}=\sum _{k=1}^{n}{p_{jk}(x)y_{k}}+f_{j}(x),j=1,2,\dots ,n}$

Линейное дифференциальное уравнение

Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка ${\displaystyle n}$

${\displaystyle y_{0}^{(n)}=\sum _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{0}^{(k)}}+f_{j}(x)}$,

то описанным выше способом его можно преобразовать в систему ${\displaystyle n}$ уравнений следующего вида

${\displaystyle {\begin{cases}y'_{0}=y_{1}\\y'_{1}=y_{2}\\\cdots \\y'_{n-2}=y_{n-1}\\y'_{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{k}}+f_{j}(x)\end{cases}}}$

Решение СЛДУ

Общее решение однородной СЛДУ, получаемой приравниванием всех ${\displaystyle f_{j}(x)}$ к нулю даётся формулами

${\displaystyle y_{j}=\sum _{k=1}^{n}{C_{k}y_{jk}(x)}}$

где ${\displaystyle y_{j1},y_{j2},\dots ,y_{jn}}$ — линейно независимые частные решения однородной системы, то есть такие, что определитель ${\displaystyle ||y(x)_{ij}||\neq 0}$ хотя бы в одной точке. В случае постоянных коэффициентов ${\displaystyle p(x)_{jk}=a_{jk}}$ частные решения однородной системы следует искать в виде

${\displaystyle y_{j}(x)=(A_{j0}+A_{j1}x+\dots +A_{jn_{k}-1}x^{n_{k}-1})e^{\lambda _{j}x}}$

где ${\displaystyle A_{js}}$ — неопределённые коэффициенты, ${\displaystyle \lambda _{j}}$ — корни характеристического уравнения

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}}=0}$

и ${\displaystyle n_{k}}$ — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных случаев производится методами линейной алгебры. Для решения СЛДУ с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.