Лоренц-ковариантность

Термин «Лоренц» имеет также другие значения.

Ло́ренц-ковариа́нтность — свойство систем математических уравнений, описывающих физические законы, сохранять свой вид при применении преобразований Лоренца^[1]. Более точно, всякий физический закон должен представляться релятивистски инвариантной системой уравнений, то есть инвариантной относительно полной ортохронной неоднородной группы Лоренца^[2]. Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено.

Терминология

Лоренц-инвариантность и релятивистская инвариантность — синонимы. Функция Лагранжа, из которой получаются уравнения поля, должна быть инвариантна относительно полной группы Лоренца. В это понятие включают преобразования Лоренца и трансляции по всем четырём осям^[3].

Лоренц-ковариантность физических законов

Лоренц-ковариантность физических законов — конкретизация принципа относительности (то есть постулируемого требования независимости результатов физических экспериментов и записи уравнений от выбора конкретной системы отсчёта). Исторически эта концепция стала ведущей при включении в сферу действия принципа относительности (раньше формулировавшегося с применением не преобразования Лоренца, а преобразования Галилея) максвелловской электродинамики, уже тогда лоренц-ковариантную и не имевшую видимых возможностей переделки для ковариантности относительно преобразований Галилея, что привело к распространению требования лоренц-ковариантности и на механику и вследствие этого к изменению последней.

Преобразования Лоренца удобно рассматривать как вращения и специальные преобразования в четырёхмерном пространстве и использовать для их описания векторный и тензорный анализ. Благодаря этому запись систем математических уравнений, описывающих законы природы, в векторной и тензорной форме, позволяет сразу же определить их лоренц-ковариантность, не выполняя преобразование Лоренца.^[4]

«Ковариантность» vs «инвариантность»

В последнее время наметилось вытеснение термина лоренц-ковариантность термином лоренц-инвариантность, который всё чаще применяется равно и к законам (уравнениям), и к величинам ^{[источник не указан 5234 дня]}. Трудно сказать, является ли это уже нормой языка или всё же, скорее, некоторой вольностью употребления. Однако в более старой литературе^{[какой?]} имелась тенденция строгого разграничения этих терминов: первый (ковариантность) употреблялся по отношению к уравнениям и многокомпонентным величинам (представлениям тензоров, в том числе векторов, и самим тензорам, так как часто не проводилось терминологической грани между тензором и набором его компонент), подразумевая согласованное изменение компонент всех входящих в равенства величин или просто согласованное друг с другом изменение компонент разных тензоров (векторов); второй же (инвариантность) применялся, как более частный, к скалярам (также к скалярным выражениям), подразумевая простую неизменность величины.

Примеры

Ниже используется сигнатура метрического тензора пространства Минковского η = diag(+1, −1, −1, −1). Иногда в литературе используется другой выбор знаков, см. Метрика Лоренца.

Скаляры

Синонимом слов лоренц-инвариантная величина в 4-мерном пространственно-временном формализме является термин скаляр, который для полной конкретизации подразумеваемого контекста иногда называют лоренц-инвариантным скаляром.

• Скорость света в вакууме.

• Интервал:

${\displaystyle \Delta s^{2}=\eta _{ab}x^{a}x^{b}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}.\ }$

• Собственное время (для времениподобных интервалов):

при равномерном движении:

${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\frac {\Delta s^{2}}{c^{2}}}},\,\Delta s^{2}>0.}$

в общем случае:

${\displaystyle \Delta \tau =\int d\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt,\ \ }$ где ${\displaystyle v}$ — величина трёхмерной скорости, причём подразумевается, что всюду ${\displaystyle (ds)^{2}>0,v<c.}$

• Собственная длина (для пространственноподобных интервалов):

${\displaystyle L={\sqrt {-\Delta s^{2}}},\,\Delta s^{2}<0.}$

• Действие для массивной бесструктурной точечной частицы массой m:

${\displaystyle S=mc^{2}\Delta \tau =mc\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=mc^{2}\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt.}$

• Инвариантная масса m:

${\displaystyle m^{2}c^{2}=\eta _{ab}p^{a}p^{b}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}.}$

• Электромагнитные инварианты (из теории Максвелла):

${\displaystyle F_{ab}F^{ab}=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right),}$

${\displaystyle G_{cd}F^{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}F^{cd}=-{\frac {4}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right).}$

• Оператор Д’Аламбера (4-мерный волновой оператор):

${\displaystyle \Box =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

(при данном выборе сигнатуры метрики Минковского η приведённый вид оператора совпадает с традиционным определением оператора Д’Аламбера с точностью до знака).

• Электрический заряд
• Постоянная Планка
• Энтропия
• Постоянная Больцмана
• Фаза электромагнитной волны

4-векторы

• Координаты события (радиус-вектор):

${\displaystyle x^{a}=(ct,x,y,z).\ }$

• Оператор 4-градиента:

${\displaystyle \partial _{a}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right).}$

• 4-скорость:

${\displaystyle U^{a}={\frac {dx^{a}}{cd\tau }}={\frac {1}{c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}$

где ${\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}},v_{y}={\frac {dy}{dt}},v_{z}={\frac {dz}{dt}},v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$

• 4-импульс:

${\displaystyle p^{a}=mU^{a}=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right),}$

где m — масса покоя (инвариантная масса, или просто масса — терминологические эквиваленты).

• 4-ток:

${\displaystyle j^{a}=(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z})=\left(c\rho ,{\vec {j}}\right),\ }$

где ρ — скалярная плотность заряда, ${\displaystyle {\vec {j}}=\rho {\vec {U}}}$ — 3-вектор плотности тока, ${\displaystyle {\vec {U}}}$ — 3-вектор скорости зарядов.

Тензоры

• Символ Кронекера:

${\displaystyle \delta _{b}^{a}={\begin{cases}1,&{\mbox{если }}a=b,\\0,&{\mbox{если }}a\neq b.\end{cases}}}$

• Метрический тензор Минковского (метрика Лоренца):

${\displaystyle \eta _{ab}=\eta ^{ab}={\begin{cases}1,&{\mbox{если }}a=b=0,\\-1,&{\mbox{если }}a=b=1,2,3,\\0,&{\mbox{если }}a\neq b.\end{cases}}}$

• Абсолютно антисимметричный единичный тензор (символ Леви-Чивиты):

${\displaystyle \epsilon _{abcd}=-\epsilon ^{abcd}={\begin{cases}+1,&{\mbox{если }}\{abcd\}{\mbox{ является чётной перестановкой }}\{0123\},\\-1,&{\mbox{если }}\{abcd\}{\mbox{ является нечётной перестановкой }}\{0123\},\\0&{\mbox{во всех прочих случаях.}}\end{cases}}}$

• Тензор электромагнитного поля:

${\displaystyle F_{ab}={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

и дуальный ему тензор:

${\displaystyle G_{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-E_{z}/c&E_{y}/c\\-B_{y}&E_{z}/c&0&-E_{x}/c\\-B_{z}&-E_{y}/c&E_{x}/c&0\end{bmatrix}}.}$

См. также

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

• Преобразования Лоренца
• Принцип относительности
• Общековариантность
• Калибровочная инвариантность
• Ковариантность и контравариантность (математика)