Скалярная матрица

Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

${\displaystyle A_{n}={\begin{pmatrix}a&0&\cdots &0&0\\0&a&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &a&0\\0&0&\cdots &0&a\end{pmatrix}}}$

Свойства

• Скалярная матрица — это произведение скаляра и единичной матрицы.

${\displaystyle a\cdot E_{n}=A_{n}}$

• Множество скалярных матриц ${\displaystyle n\times n}$ — это в точности те матрицы, которые коммутируют со всеми матрицами ${\displaystyle n\times n}$, то есть для любой скалярной матрицы ${\displaystyle S}$ и матрицы ${\displaystyle A}$ того же размера ${\displaystyle AS=SA.}$
• ${\displaystyle \operatorname {det} A_{n}=a^{n}}$
• ${\displaystyle \operatorname {rang} A_{n}={\begin{cases}n,&a\not =0\\0,&a=0.\end{cases}}}$
• ${\displaystyle A_{n}^{-1}={\frac {1}{a}}E_{n}}$, где ${\displaystyle E_{n}}$ - единичная матрица
• Скалярные матрицы образуют поле, изоморфное полю, которому принадлежат элементы матрицы (например, действительных или комплексных чисел).