Сквиркл

Квадрокруг, квадратокруг, также сквиркл (от англ. squircle) — промежуточная форма между квадратом и кругом. Существует, по крайней мере, два определения понятия «квадрокруг», наиболее распространенное из которых основано на суперэллипсе. Слово «квадрокруг» представляет собой комбинацию слов «квадрат» и «круг».

Сквиркл с центром в начале координат (a = b = 0) с малым радиусом r = 1 и x⁴ + y⁴ = 1

Сквиркл на основе суперэллипса

В декартовой системе координат суперэллипс определяется уравнением$${\displaystyle \left|{\frac {x-a}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {y-b}{r_{b}}}\right|^{n}=1,}$$где ${\displaystyle r_{a}}$ и r_b — большая и малая полуоси, a и b — координаты x и y центра эллипса, а n — положительное число. Сквиркл определяется как суперэллипс с r a = r b и n = 4. r_a = r_b. Таким образом, получается уравнение^[1]$${\displaystyle \left(x-a\right)^{4}+\left(y-b\right)^{4}=r^{4}}$$где r — малый радиус сквиркла. Сравните это с уравнением окружности. Когда сквиркл центрирован в начале координат, то a = b = 0, и это называется специальной квартикой Ламе.$${\displaystyle \mathrm {A} =4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}={\frac {8r^{2}\left(\operatorname {\Gamma } \left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}=\varpi {\sqrt {2}}\,r^{2}\approx 3.708149\,r^{2},}$$где r — малый радиус окружности и ${\displaystyle \varpi }$ постоянная Гаусса (лемнискаты).

Обозначение p-нормы

В терминах p-нормы ‖ · ‖_p R² окружность может быть выражена как:$${\displaystyle \left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{c}\right\|_{p}=r}$$где p = 4, x_c = (a, b) — вектор, обозначающий центр окружности, а x = (x, y). Фактически, это все ещё «круг» из точек на расстоянии r от центра, но расстояние определяется по-другому. Для сравнения, обычный круг — это случай p = 2, в то время как квадрат задается формулой p → ∞ (норма супремума), а повернутый квадрат задается p = 1 (расстояние городских кварталов). Это позволяет сделать прямое обобщение на сферический куб, или сфуб, в ${\displaystyle R^{3}}$, или гиперсфубы в более высоких размерностях.^[2][3]

Сквиркл Фернандеса-Гуасти

Ещё одно определение сквиркла появилось благодаря работе в области оптики.^[4][5] Его можно назвать сквирклом Фернандеса-Гуасти в честь одного из его авторов, чтобы отличить его от описанного выше определения, связанного с суперэллипсом.^[6] Этот вид с центром в начале координат может быть определён уравнением:$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}x^{2}y^{2}=r^{2}}$$где r − малый радиус окружности, s — параметр квадратности, а x и y находятся в интервале [-r, r]. Если s = 0, то уравнение представляет собой круг; если s = 1, то это квадрат. Это уравнение обеспечивает гладкую параметризацию перехода от круга к квадрату без использования понятия бесконечности.

Похожие фигуры

Сквиркл (синий) по сравнению с закругленным квадратом (красный).

Фигура, называемая округлым квадратом, может быть получена путем отделения четырёх четвертей круга и соединения их свободных концов прямыми или путем отделения четырёх сторон квадрата и соединения их четвертями окружностей. Такая фигура очень близка, но не совпадает с квадратом. Хотя построение округлого квадрата может быть концептуально и физически более простым, круг имеет более простое уравнение и может быть обобщен гораздо легче. Одним из следствий этого является то, что круг и другие суперэллипсы могут быть легко увеличены или уменьшены. Это полезно, например, когда нужно создать вложенные друг в друга фигуры.

Различные формы усеченного круга

Другая подобная фигура — усеченный круг, граница пересечения областей, ограниченных квадратом и концентрической окружностью, диаметр которой одновременно больше длины стороны квадрата и меньше длины диагонали квадрата (таким образом, каждая фигура имеет внутренние точки, которые не входят во внутреннюю часть другой). Такие фигуры лишены непрерывности касательной, которой обладают суперэллипсы и скругленные квадраты.

Скругленный куб можно задать в понятиях суперэллипсоидов.

Использование

Сквирклы востребованы в оптике. Если свет пропускается через двумерное квадратное отверстие, центральное пятно на дифракционной картине может быть близко смоделировано сквирклом или суперкругом. Если используется прямоугольная апертура, пятно может быть аппроксимировано суперэллипсом.^[7]

Их также можно использовать для изготовления обеденных тарелок. Такая тарелка имеет большую площадь (и, следовательно, может вместить больше продуктов), чем круглая с тем же радиусом, но все равно занимает столько же места в прямоугольном или квадратном шкафу.^[8]

Многие модели телефонов Nokia были спроектированы с кнопкой сенсорной панели в форме сквиркла,^[9] как и второе поколение Microsoft Zune.^[10] Apple использует приближение сквиркла (на самом деле квинтичный суперэллипс)^[11] для значков в iOS, iPadOS, macOS и кнопок «Домой» на некоторых устройствах Apple.^[12][13] Что даже стало частью семилетнего разбирательства с Samsung^[14]. Одна из форм адаптивных значков, представленных в операционной системе Android Oreo, — сквиркл.^[15] Samsung использует такие иконки в своей оболочке One UI для Android, а также в Samsung Experience и TouchWiz.

Итальянский автопроизводитель Fiat использовал сквирклы в дизайне интерьера и экстерьера третьего поколения Panda.^[16][17]

См. также

• Астроида
• Эллипс
• Эллипсоид
• Lp (пространство)
• Овал
• Суперъяйцо
• Squround
• Суперквадрики