Постоянная Гаусса (математика)

Эта статья — о математической константе. Об астрономической константе см. Постоянная Гаусса (астрономия).

Постоя́нная Га́усса (обозначение — G) — математическая константа, которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2:

${\displaystyle G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0{,}8346268\dots .}$(последовательность A014549 в OEIS)

Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799^[1] году обнаружил, что

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

чтобы

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)}$

где Β обозначает бета-функцию.

Связь с другими константами

Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$:

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

В качестве альтернативы,

${\displaystyle G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

а поскольку ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$ алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.

Константы лемнискаты

Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.

Гаусс и другие используют^[2][3] эквивалент

${\displaystyle \varpi =\pi G}$

которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций (знак ${\displaystyle \varpi }$ носит название «помега» и является видоизменением буквы ${\displaystyle \pi }$).

Число ${\displaystyle \varpi }$ равно половине длины лемнискаты Бернулли ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}}$.

Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются константами лемнискаты, первая из которых

${\displaystyle A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)}$

и вторая константа:

${\displaystyle B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\right).}$

Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.^[4]

Другие формулы

Формула, выражающая G через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)}$

Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}$

Константу также можно выразить бесконечным произведением

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$

Эта константа появляется при оценке интегралов

${\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}$

Представление константы в виде непрерывной дроби:

${\displaystyle G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5,2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\dots ].}$(последовательность A053002 в OEIS)