Совершенное пространство

Совершенное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором каждое замкнутое множество является G_δ-множеством, то есть представимо в виде счётного пересечения открытых множеств^[1].

Э. Майкл^[англ.] в 1953 году доказал^[2], что совершенные пространства выдерживают умножение на метризуемые, т. е. имеет место следующая теорема: произведение ${\displaystyle X\times Y}$ совершенного пространства ${\displaystyle X}$ и метризуемого пространства ${\displaystyle Y}$ есть совершенное пространство.

Известно^[2], что сами нормальность и наследственная нормальность не сохраняются при умножении на метризуемое пространство, однако произведение совершенно нормального пространства ${\displaystyle X}$ и метризуемого пространства ${\displaystyle Y}$ остаётся совершенно нормальным!

Примеры

1. Прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$, отрезок ${\displaystyle \mathbb {I} }$, евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и более общо — любое метризуемое пространство.
2. Плоскость Немыцкого ${\displaystyle L}$ является примером тихоновского совершенного неметризуемого пространства.