Соленоид Смейла — Вильямса

Соленоид Смейла — Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.

Образ отображения соленоида

Определение

Отображением соленоида называют отображение

${\displaystyle F:S^{1}\times D\to S^{1}\times D}$

полнотория в себя, заданное как

${\displaystyle F(\varphi ,z)=(2\varphi ,{\frac {1}{2}}e^{i\varphi }+{\frac {1}{10}}z).}$

Здесь диск ${\displaystyle D}$ для удобства рассматривается как единичный диск на комплексной плоскости: ${\displaystyle D=\{|z|\leq 1\}}$.

Максимальный аттрактор ${\displaystyle A_{max}(F)}$ этого отображения (как и всю соответствующую динамическую систему) называют соленоидом Смейла — Вильямса.

Свойства

• Отображение соленоида гиперболично.
• Сам соленоид оказывается гомеоморфен множеству, получаемому при реализации процедуры надстройки над одометром — отображением прибавления единицы в 2-адических целых числах ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.
• Динамика на соленоиде допускает символическое кодирование: точке соленоида можно (почти взаимно-однозначно) сопоставить двусторонне-бесконечным последовательностям нулей и единиц, причём применению отображения будет соответствовать левый сдвиг на пространстве последовательностей, а часть последовательности с положительными индексами будет являться двоичной записью угловой координаты.

Ссылки

• Аттрактор Смейла — Вильямса на сайте «Саратовской группы нелинейной динамики».

Литература

• Синай Я. Г., Вершик А. М., Добрушин Р. Л., Динамические системы-2, ВИНИТИ.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.