Полноторие

Полното́рие (полното́рий) — трёхмерная фигура, ограниченная тором, а также топологическое пространство, гомеоморфное этой фигуре, то есть прямое произведение ${\displaystyle D^{2}\times S^{1}}$двумерного диска и окружности. Неформально, полноторие — бублик, тогда как тор — только его поверхность (пустотелая камера колеса).

Полноторие

Свойства

• Полноторие может быть получено как фигура вращения круга радиуса ${\displaystyle r}$ вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга, находящийся на расстоянии ${\displaystyle R}$ от его центра.
• Объём полнотория как следствие из второй теоремы Гульдина: ${\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус образующего круга, а ${\displaystyle R}$ — расстояние от центра образующего круга до оси вращения (см. рисунок).
• Полноторие является трёхмерным компактным многообразием с краем. Это многообразие является связным и ориентируемым.
• Полноторие гомотопически эквивалентно окружности ${\displaystyle S^{1}}$. Отсюда следует, что полноторие и окружность имеют одинаковые фундаментальные группы и группы гомологий:

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1}\times D^{2})\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{k}(S^{1}\times D^{2})\cong H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

Литература

• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология — М., 1992.
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.