Сопряжённые числа

Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями^[1]. Например, сопряжёнными являются числа ${\displaystyle 3+4i}$ и ${\displaystyle 3-4i}$. Число, сопряжённое к числу ${\displaystyle z}$, обозначается ${\displaystyle {\overline {z}}}$. В общем случае, сопряжённым к числу ${\displaystyle z=a+ib}$ (где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — действительные числа) является ${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib}$.

Геометрическое представление ${\displaystyle z}$ и его сопряжённого ${\displaystyle {\bar {z}}}$ на комплексной плоскости

Например:

${\displaystyle {\overline {3-2i}}=3+2i}$

${\displaystyle {\overline {7}}=7}$

${\displaystyle {\overline {i}}=-i.}$

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид ${\displaystyle re^{i\phi }}$ и ${\displaystyle re^{-i\phi }}$, что непосредственно следует из формулы Эйлера.

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Свойства

Для произвольных комплексных чисел ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$:

• ${\displaystyle {\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}}$,
• ${\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}}$
• ${\displaystyle {\overline {z}}=z\Leftrightarrow z}$ является действительным числом,
• ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}}$ для всех целых ${\displaystyle n}$,
• ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$,
• ${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}$,
• ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$ (то есть, сопряжение является инволюцией),
• ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$, если ${\displaystyle z}$ не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах.

Если ${\displaystyle \phi }$ является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены ${\displaystyle \phi (z)}$, то:

${\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}}$.

В частности:

• ${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}}$
• ${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}}$, если ${\displaystyle z}$ не равно нулю.
• если ${\displaystyle p}$ — полином с действительными коэффициентами и ${\displaystyle p(z)=0}$, то также ${\displaystyle p({\overline {z}})=0}$, то есть комплексные (не действительные) корни таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары.

Определение координат числа и сопряжения

Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул:

• ${\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2}$
• ${\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i}$
• ${\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}$
• ${\displaystyle e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}}$ (если ${\displaystyle z}$ не равно нулю).