Сопряжённый корень

Если задан некоторый неприводимый многочлен ${\displaystyle f(x)}$ над кольцом ${\displaystyle K}$ и выбран некоторый его корень ${\displaystyle \alpha }$ в расширении ${\displaystyle K[\alpha ]}$, то сопряженным корнем для данного корня ${\displaystyle \alpha }$ многочлена ${\displaystyle f(x)}$ называется любой корень многочлена ${\displaystyle f(x)}$ (иногда, в зависимости от контекста, под сопряженным корнем понимается любой другой корень данного многочлена). Число сопряженных корней неприводимого многочлена равно степени ${\displaystyle \operatorname {deg} f}$ многочлена ${\displaystyle f}$. Также говорят, что элементы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ являются сопряженными, если они являются корнями некоторого неприводимого многочлена ${\displaystyle f}$

Свойства

• Теорема Виета задает ${\displaystyle \operatorname {deg} f}$ алгебраических соотношений между сопряженными корнями многочлена.
• Если ${\displaystyle K}$ — поле, то Группа Галуа ${\displaystyle Gal(K(\alpha ),K)}$ изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок, действующей на множестве сопряженных корней многочлена. Отображение корня в ему сопряженный задает автоморфизм расширения основного поля.

Примеры

• Если ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ — многочлен 2-й степени, то сопряженные корни имеют вид ${\displaystyle r\pm {\sqrt {s}}}$.
• Корни из единицы ${\displaystyle \varepsilon ^{j}}$ n-й степени являются сопряженными корнями многочлена ${\displaystyle x^{n}-1=0}$ над ${\displaystyle \mathbb {R} (\varepsilon )}$

См. также

• Корень многочлена
• Неприводимый многочлен
• Теорема Виета