Формулы Виета

Эта статья — о формулах, связывающих коэффициенты многочлена и его корни. О формуле представления числа π см. Формула Виета для приближения числа π.

Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде^{[1]:138—139}.

Формулировка

Если ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ — корни многочлена

${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}}$

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, при этом общее количество корней с учётом кратных равно степени многочлена, иначе формулы неприменимы), то коэффициенты ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ выражаются в виде симметрических многочленов от корней^[2], а именно:

${\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}),\\a_{2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n},\\a_{3}&=-(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\ldots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n}),\\&~~\ldots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(x_{1}x_{2}\ldots x_{n-1}+x_{1}x_{2}\ldots x_{n-2}x_{n}+\ldots +x_{2}x_{3}...x_{n}),\\a_{n}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\ldots x_{n}.\end{aligned}}}$

Иначе говоря, ${\displaystyle (-1)^{k}a_{k}}$ равно сумме всех возможных произведений из ${\displaystyle k}$ корней.

Для применимости формул Виета обязательно наличие полного разложения многочлена, то есть количество корней с учётом кратности должно равняться степени многочлена. Это имеет место, в частности, всегда над полем комплексных чисел.

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если все корни многочлена целочисленные, а общее их количество с учётом кратности равно степени многочлена, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Если старший коэффициент многочлена не равен единице:

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},}$

то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на ${\displaystyle a_{0}}$ (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:

${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dots x_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.}$

Подобная методика применима не только в случае, когда все корни целые. Например, при умножении любого многочлена только с целыми корнями на многочлен ${\displaystyle x^{2}+1}$ получается многочлен с подобным свойством, позволяющим выделить целые корни этим же методом, понизив в результате степень и дойдя до полного разложения. Также алгоритм имеет полезное расширение для поиска рациональных корней: для этого в качестве тестируемых кандидатов на корни рассматриваются дроби, в которых числитель является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем старшего коэффициента.

Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n}).}$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ${\displaystyle x}$, получаем формулы Виета.

Примеры

Квадратное уравнение

Если ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ — корни квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$, то

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a}}.\end{cases}}}$

В частном случае, если ${\displaystyle a=1}$ (приведённая форма ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$), то

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases}}}$

Кубическое уравнение

Если ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ — корни кубического уравнения ${\displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$, то

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}},\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}.\end{cases}}}$

Вариации и обобщения

Из приведённого выше доказательства видно, что формулы Виета получаются чисто алгебраически из свойств сложения и умножения. Поэтому они применимы к многочленам с коэффициентами из произвольной области целостности ${\displaystyle \mathbb {K} }$, если старший коэффициент многочлена равен единице ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ а корни располагаются в алгебраическом замыкании поля частных для ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Если коэффициенты многочлена берутся из произвольного коммутативного кольца, не являющегося областью целостности (то есть имеющего делители нуля), то формулы Виета, вообще говоря, не выполняются. Например, рассмотрим в качестве ${\displaystyle \mathbb {K} }$ кольцо вычетов по модулю ${\displaystyle 8}$ и многочлен ${\displaystyle f(x)=x^{2}-1.}$ Он имеет в этом кольце не два, а четыре корня: ${\displaystyle 1,3,5,7.}$ Поэтому использованное в доказательстве разложение на линейные множители, число которых равно числу корней, не имеет места, и формулы Виета, как легко проверить, неверны. Для таких колец теорема о формулах Виета требует переформулировки (уточнения):

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ - полностью разложимый (на линейные множители) многочлен, и ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ - корни любого его полного разложения. Тогда для них выполнены обычные формулы Виета.

Для примера, приведённого выше, имеются 2 различных полных разложения:

${\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x-7)=(x-3)(x-5)\mod 8}$

Легко проверить, что теперь формулы Виета выполнены.

См. также

• Основная теорема алгебры
• Теорема Безу
• Тождества Ньютона
• Прыжки Виета