Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Формулы Виета
Формула связи коэффициентов квадратного уравнения с корнями Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде[1]:138—139.
Remove ads
Формулировка
Суммиров вкратце
Перспектива
Если — корни многочлена
(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, при этом общее количество корней с учётом кратных равно степени многочлена, иначе формулы неприменимы), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней[2], а именно:
Иначе говоря, равно сумме всех возможных произведений из корней.
Для применимости формул Виета обязательно наличие полного разложения многочлена, то есть количество корней с учётом кратности должно равняться степени многочлена. Это имеет место, в частности, всегда над полем комплексных чисел.
Следствие: из последней формулы Виета следует, что если все корни многочлена целочисленные, а общее их количество с учётом кратности равно степени многочлена, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.
Если старший коэффициент многочлена не равен единице:
то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:
Подобная методика применима не только в случае, когда все корни целые. Например, при умножении любого многочлена только с целыми корнями на многочлен получается многочлен с подобным свойством, позволяющим выделить целые корни этим же методом, понизив в результате степень и дойдя до полного разложения. Также алгоритм имеет полезное расширение для поиска рациональных корней: для этого в качестве тестируемых кандидатов на корни рассматриваются дроби, в которых числитель является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем старшего коэффициента.
Remove ads
Доказательство
Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем формулы Виета.
Remove ads
Примеры
Квадратное уравнение
Если и — корни квадратного уравнения , то
В частном случае, если (приведённая форма ), то
Кубическое уравнение
Если — корни кубического уравнения , то
Remove ads
Вариации и обобщения
Суммиров вкратце
Перспектива
Из приведённого выше доказательства видно, что формулы Виета получаются чисто алгебраически из свойств сложения и умножения. Поэтому они применимы к многочленам с коэффициентами из произвольной области целостности , если старший коэффициент многочлена равен единице а корни располагаются в алгебраическом замыкании поля частных для
Если коэффициенты многочлена берутся из произвольного коммутативного кольца, не являющегося областью целостности (то есть имеющего делители нуля), то формулы Виета, вообще говоря, не выполняются. Например, рассмотрим в качестве кольцо вычетов по модулю и многочлен Он имеет в этом кольце не два, а четыре корня: Поэтому использованное в доказательстве разложение на линейные множители, число которых равно числу корней, не имеет места, и формулы Виета, как легко проверить, неверны. Для таких колец теорема о формулах Виета требует переформулировки (уточнения):
- Пусть - полностью разложимый (на линейные множители) многочлен, и - корни любого его полного разложения. Тогда для них выполнены обычные формулы Виета.
Для примера, приведённого выше, имеются 2 различных полных разложения:
Легко проверить, что теперь формулы Виета выполнены.
Remove ads
См. также
Примечания
Литература
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads