Состояние Фока

Фоковское состояние — это квантовомеханическое состояние с точно определённым количеством частиц. Названо в честь советского физика В. А. Фока.

Свойства фоковских состояний

В фоковском состоянии ${\displaystyle |n\rangle }$ находится n частиц, где n — целое число.

В основном состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$ нет ни одного кванта. Часто ${\displaystyle |0\rangle }$ также называют вакуумным состоянием.

При рассмотрении вторичного квантования состояния Фока формируют самый удобный базис пространства Фока.

Действие операторов рождения и уничтожения на них весьма просто. Они подчиняются следующим соотношениям статистики Бозе — Эйнштейна (случай частиц с целым спином):

${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$

${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$

${\displaystyle |n\rangle ={1 \over {\sqrt {n!}}}(a^{\dagger })^{n}|0\rangle }$

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a^{\dagger }}$ — являются операторами уничтожения и рождения соответственно. Похожие соотношения выполняются для статистики Ферми — Дирака (для частиц с полуцелым спином).

Из этих соотношений следует, что

${\displaystyle <a^{\dagger }a>=n}$

и

${\displaystyle Var(a^{\dagger }a)=0,}$

таким образом, измерение числа частиц ${\displaystyle a^{\dagger }a}$ в состоянии Фока всегда даёт определённое значение без флуктуаций.

Состояния Фока не являются собственными функциями гамильтониана в общем случае

В формализме вторичного квантования плотность гамильтониана даётся выражением

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^[1],

и общий гамильтониан записывается так:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

В свободной теории Шрёдингера (т. е. для не взаимодействующих частиц в нерелятивистском приближении)^[1]

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

и

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

и

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$,

где ${\displaystyle a_{n}}$ — оператор уничтожения.

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

Только для невзаимодействующих частиц ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ и ${\displaystyle a_{n}}$ коммутируют; в общем случае они не коммутируют. Для невзаимодействующих частиц

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь вышеуказанного выражения. Следовательно, в общем случае фоковские состояния не являются состояниями системы с определённым значением энергии.

Энергия состояний

Фоковские состояния являются собственными функциями гамильтониана поля ${\displaystyle H=\hbar \omega (a^{\dagger }a+1/2)}$:

${\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,}$

где ${\displaystyle E_{n}}$ — энергия соответствующего состояния ${\displaystyle |n\rangle }$.

При подстановке гамильтониана в приведённое выше выражение получим:

${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle }$

Следовательно, энергия состояния ${\displaystyle |n\rangle }$ равна ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$, где ${\displaystyle \omega }$ — частота поля.

Ещё раз отметим, что энергия нулевого (основного) состояния с ${\displaystyle n=0}$ отлична от нуля, и её называют нулевой энергией.

Вакуумные флуктуации

См. также Частота Раби

Вакуумное состояние, или ${\displaystyle |0\rangle }$, есть состояние с наименьшей энергией. Для него

${\displaystyle a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }.}$

Электрическое и магнитное поля и векторный потенциал имеют одинаковый вид:

${\displaystyle F({\vec {r}},t)=\varepsilon ae^{i(({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})-\omega t)}+}$ ${\displaystyle h.c.}$

Легко заметить, что величина оператора поля этого состояния исчезает в вакуумном состоянии:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0.}$

Однако можно показать, что квадрат оператора поля не равен нулю.

Вакуумные флуктуации ответственны за многие интересные явления в квантовой оптике, например, такие, как сдвиг Лэмба и сила Казимира.