Список моментов инерции

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину². Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений^{[уточнить]}, который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание	Изображение	Моменты инерции	Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m		${\displaystyle I=mr^{2}}$  [1]	Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2. Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.
Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r1, внешнего радиуса r2, длиной h и массой m		${\displaystyle I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)}$  [1][2] ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]}$ или при определении нормированной толщины tn = t/r и полагая r = r2, тогда ${\displaystyle I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)}$	При плотности ρ и той же геометрии: ${\displaystyle I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}$
Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m		${\displaystyle I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}}$  [1] ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)}$	Это частный случай предыдущего объекта при r1=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m		${\displaystyle I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}}$	Это частный случай предыдущего объекта при h=0.
Тонкое кольцо радиуса r и массы m		${\displaystyle I_{z}=mr^{2}}$ ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}}$	Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r1=r2 и h=0.
Твёрдый шар радиуса r и массы m		${\displaystyle I={\frac {2mr^{2}}{5}}}$  [1]	Шар можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r.
Пустотелая сфера радиуса r и массы m		${\displaystyle I={\frac {2mr^{2}}{3}}}$  [1]	Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец.
Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой m		${\displaystyle I_{a}={\frac {m(b^{2}+c^{2})}{5}}}$	—
Прямой круговой конус радиуса r, высоты h и массы m		${\displaystyle I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}}$  [3] ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}m\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)}$  [3]	—
Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой m		${\displaystyle I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)}$ ${\displaystyle I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)}$ ${\displaystyle I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)}$	Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle I_{CM}={\frac {ms^{2}}{6}}}$.
Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали.		${\displaystyle I={\frac {m\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+W^{2}L^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}}$	Для куба с длиной ребра ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle I={\frac {ms^{2}}{6}}}$.
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m		${\displaystyle I_{c}={\frac {m(h^{2}+w^{2})}{12}}}$  [1]	—
Стержень длины L и массы m		${\displaystyle I_{\mathrm {center} }={\frac {mL^{2}}{12}}}$  [1]	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = 0.
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m (Ось вращения в конце пластины)		${\displaystyle I_{e}={\frac {mh^{2}}{3}}+{\frac {mw^{2}}{12}}}$	—
Стержень длины L и массы m (Ось вращения на конце стержня)		${\displaystyle I_{\mathrm {end} }={\frac {mL^{2}}{3}}}$  [1]	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = 0.
Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m.		Ось вращения относительно диаметра: ${\displaystyle {\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)m}$  [4] Ось вращения относительно вертикальной оси: ${\displaystyle \left(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2}\right)m}$  [4]	—
Плоскость многоугольника с вершинами ${\displaystyle {\vec {P}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {P}}_{2}}$, ${\displaystyle {\vec {P}}_{3}}$, ..., ${\displaystyle {\vec {P}}_{N}}$ и массой ${\displaystyle m}$, равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.		${\displaystyle I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum \limits _{n=1}^{N-1}\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|({\vec {P}}_{n+1}^{2}+{\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n}+{\vec {P}}_{n}^{2})}{\sum \limits _{n=1}^{N-1}\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|}}}$	—
Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам (т.е. ${\displaystyle \rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\,e^{-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2}}$ где: ${\displaystyle \rho (x,y)}$ — плотность масс как функция x и y).		${\displaystyle I=m(a^{2}+b^{2})}$
Две точечные массы M и m на расстоянии x друг от друга		${\displaystyle I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}}$	${\displaystyle \mu }$ — приведённая масса.

См. также

• Теорема Штейнера