Длина кривой

Длина́ криво́й (или, что то же, длина́ дуги́ криво́й) — числовая характеристика протяжённости этой кривой^[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Приближение длины дуги эллипса с помощью ломаных

Определение

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Приближение кривой ломаными

Например, пусть непрерывная кривая ${\displaystyle \gamma }$ в трёхмерном пространстве задана параметрически:

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t),}$

(1)

где ${\displaystyle a\leqslant t\leqslant b}$, все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям ${\displaystyle t}$ соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала ${\displaystyle [a,b]}$ на ${\displaystyle m}$ отрезков: ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b}$. Соединение точек кривой ${\displaystyle \gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})}$ отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных^[2].

Длина дуги циклоиды (s) в зависимости от её параметра (θ)

Связанные определения

• Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляема^[3].
• Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной.
• Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства

• Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна.
• В математическом анализе выводится формула для вычисления длины ${\displaystyle s}$ отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}\,dt.}$

(2)

Формула подразумевает, что ${\displaystyle a\leqslant b}$ и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}}\,dt.}$.

• Если плоская кривая задана уравнением ${\displaystyle y=f(x),}$ где ${\displaystyle f}$ — гладкая функция на отрезке значений параметра ${\displaystyle [a,b]}$, то длина кривой определяется по формуле:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.}$

В полярных координатах ${\displaystyle (r,\varphi )}$:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\,d\varphi .}$

• Формула Крофтона позволяет связать длину кривой на плоскости и интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.

История

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»^[4][5].

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

Вариации и обобщения

Риманово пространство

В n-мерном римановом пространстве с координатами ${\displaystyle x^{1}\cdots x^{n}}$ кривая задаётся параметрическими уравнениями:

${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t).}$

(3)

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt}$,

где ${\displaystyle g_{ij}}$ — метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства ${\displaystyle (X,\rho )}$ длиной ${\displaystyle S}$ кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to X} определяется согласно формуле:

${\displaystyle s=\sup \sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k})),}$

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$.

См. также

• Дифференциальная геометрия кривых
• Объём
• Определённый интеграл
• Площадь
• Дуга окружности
• Кривая Пеано
• Элемент длины