Стационарное распределение

Стациона́рное распределе́ние цепи Маркова — это такое распределение вероятности, которое не меняется с течением времени.

Определение

Пусть ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ — однородная цепь Маркова с дискретным временем, счётным пространством состояний ${\displaystyle \{1,2,\ldots \}}$, и матрицей переходных вероятностей ${\displaystyle P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots }$. Тогда дискретное распределение ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots )}$ называется стациона́рным (инвариа́нтным), если

${\displaystyle \mathbf {q} P=\mathbf {q} }$.

Замечание

Если ${\displaystyle \mathbf {q} }$ — начальное распределение цепи ${\displaystyle \{X_{n}\}}$, то есть

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{0}=i)=q_{i},\quad i\in \mathbb {N} }$,

то и распределение всех остальных членов ${\displaystyle X_{n},n\geq 1}$ также совпадает с ${\displaystyle \mathbf {q} }$.

Основная теорема о стационарных распределениях

Пусть ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ — цепь Маркова с дискретным пространством состояний. Тогда у этой цепи существует единственное стационарное распределение тогда и только тогда, когда в множестве ее состояний найдется ровно один положительно возвратный класс.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.

См. также

• Эргодическое распределение.