Эргодическое распределение

Определение

Пусть ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ - однородная цепь Маркова с дискретным временем и счётным числом состояний. Обозначим

${\displaystyle p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)}$

переходные вероятности за ${\displaystyle n}$ шагов. Если существует дискретное распределение ${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }}$, такое что ${\displaystyle \pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N} }$ и

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots }$,

то оно называется эргоди́ческим распределе́нием, а сама цепь называется эргоди́ческой.

Основная теорема об эргодических распределениях

Пусть ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей ${\displaystyle P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots }$. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она:

1. неразложима;
2. положительно возвратна;
3. апериодична.

Эргодическое распределение ${\displaystyle \mathbf {\pi } }$ тогда является единственным решением системы:

${\displaystyle \sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N} }$.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.

См. также

• Стационарное распределение.