Стационарность

Стационарность — в теории вероятностей — свойство случайного процесса не менять свои статистические характеристики со временем^[1]. Имеет смысл в нескольких разделах науки. Понятие «стационарный случайный процесс» было введено Е. Е. Слуцким и А. Я. Хинчиным в конце 1920-х — начале 1930-х годов, которые получили первые результаты в теории стационарных случайных процессов^[2].

Теория вероятностей

В теории вероятностей случайный процесс ${\displaystyle \xi (t)}$ называется стационарным или «стационарным в узком смысле», если плотность вероятности произвольного ${\displaystyle n}$-го порядка не меняется (инвариантна) относительно сдвига по времени^[1]:

${\displaystyle f_{n}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2};...;x_{n},t_{n})=f_{n}(x_{1},t_{1}+\tau ;x_{2},t_{2}+\tau$ ;...;x_{n},t_{n}+\tau ).}

Отсюда следует, что одномерная плотность вероятности стационарного процесса не зависит от времени^[1]:

${\displaystyle f(x,t_{1})=f(x,t_{1}+\tau )=f(x)}$,

где ${\displaystyle f(x,t_{1})}$ — плотность вероятности в момент времени ${\displaystyle t_{1}}$,

а двумерная плотность вероятности стационарного процесса зависит только от разности времён ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$^[1]:

${\displaystyle f_{2}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=f_{2}(x_{1},t_{1}+\tau ;x_{2},t_{2}+\tau )=f_{2}(x_{1},x_{2},\tau )}$,

где ${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},\tau )}$ — плотность вероятности в моменты времени ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$, зависящая только от разности этих моментов времени.

Cлучайный процесс называется «стационарным в широком смысле», если верны следующие свойства^[1]:

1. Математическое ожидание и дисперсия постоянны и не зависят от времени,
2. Корреляционная функция зависит только от разности аргументов ${\displaystyle B(t_{1},t_{2})=B(t_{2}-t_{1})=B(\tau )}$.

Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле^[1]. Обратное верно для нормальных процессов^[3].

На практике часто используют предположение о стационарности в широком смысле^[1].

В общем случае радиотехнические процессы являются нестационарными, однако в большинстве практических применений их рассматривают как стационарные или проводят к стационарным^[1].

В технике

Примером стационарного процесса является установившийся режим, когда после включения системы в ней возникает переходной процесс, который со временем затухает, и система переход в установившийся или стационарный режим^[4].

Установившемся или стационарным называют такой режим измерений, при котором характеристики выходного сигнала измерительного устройства не зависят от точки отсчёта времени^[5].

Есть также термин — квазистационарный процесс, то есть процесс, скорость распространения которого в ограниченной системе столь велика, что за время распространения процесса в пределах всей системы её состояние не успевает заметно измениться, и изменение состояния всех частей системы происходит по одному и тому же временному закону практически без запаздывания.