Строфоида

Строфо́ида (от греч. στροφή — поворот) — геометрическое место точек ${\displaystyle M}$ на плоскости, таких что прямая ${\displaystyle MB}$ является биссектрисой (внешней или внутренней) угла ${\displaystyle AMC}$ при данной тройке точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$.

Строфоида тройки точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$.

Свойства

• Пусть даны точка ${\displaystyle O}$, прямая ${\displaystyle \ell }$ и точка ${\displaystyle P\in \ell }$. Для точки ${\displaystyle M}$ плоскости обозначим через ${\displaystyle M'}$ точку пересечения прямых ${\displaystyle OM}$ и ${\displaystyle \ell }$. Тогда геометрическое место точек ${\displaystyle M}$ для которых выполнено равенство ${\displaystyle MM'=M'A}$ является строфоидой.
• Строфоида является алгебраической кривой третьего прядка.
• В случае если точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ лежат на одной прямой ${\displaystyle \ell }$, строфоида вырождается в объединение прямой ${\displaystyle \ell }$ и окружности Апполония с фокусами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$.
• Инверсия с центром в точке ${\displaystyle B}$ преобразует строфоиду в равнобочную гиперболу, проходящую через ${\displaystyle B}$.^[1]

Вариации и обобщения

Понятие строфоиды допускает следующее обобщение. Пусть даны точка ${\displaystyle O}$ (полюс), кривая ${\displaystyle \gamma }$ и точка ${\displaystyle P}$. Для каждой точки ${\displaystyle X\in \gamma }$ рассмотрим точки ${\displaystyle Z}$ на прямой ${\displaystyle OX}$ такие, что ${\displaystyle XZ=ZP}$. Геометрическое место всех таких точек ${\displaystyle Z}$ называется строфоидой кривой ${\displaystyle \gamma }$ с полюсом ${\displaystyle O}$ относительно ${\displaystyle P}$.