Субгармоническая функция

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Определение

Непрерывная функция ${\displaystyle U(M)}$, заданная в точках ${\displaystyle M(x_{1},\;\ldots ,\;x_{k})}$ произвольной ${\displaystyle k}$-мерной области ${\displaystyle G}$ пространства ${\displaystyle E_{k}}$, называется субгармонической, если, каким бы ни был шар ${\displaystyle Q}$ с центром в точке ${\displaystyle M_{0}}$, принадлежащий вместе со своей границей области ${\displaystyle G}$, справедливо неравенство ${\displaystyle U(M_{0})\leqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q))}}\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\sigma }$, и супергармонической, если ${\displaystyle U(M_{0})\geqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q))}}\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\sigma }$.^[1]

Основные свойства

1. ${\displaystyle f}$ — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
2. Если ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — открытое множество и ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}(G)}$ (${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(G)}$ — класс дважды непрерывно дифференцируемых на ${\displaystyle G}$ функций), то для субгармоничности ${\displaystyle f}$ необходимо и достаточно выполнение на ${\displaystyle G}$ условия ${\displaystyle \Delta f\geqslant 0}$ (${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа).
3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Свойства

• Для любой аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$, определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция

  ${\displaystyle \varphi (z)=\log |f(z)|}$

является субгармонической.

См. также

• Плюрисубгармоническая функция