Плюрисубгармоническая функция

Плюрисубгармоническая функция — вещественнозначная функция ${\displaystyle u=u({\vec {z}})}$ , от ${\displaystyle n}$ комплексных переменных ${\displaystyle {\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})}$ в области ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, удовлетворяющая следующим условиям:

1. ${\displaystyle u(z)}$ полунепрерывна сверху всюду в ${\displaystyle D}$;
2. ${\displaystyle u(z_{0}+\lambda a)}$ есть субгармоническая функция переменного ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ в каждой связной компоненте открытого множества ${\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\}}$ для любых фиксированных точек ${\displaystyle z_{0}\in D}$, ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$.

Примеры

${\displaystyle \ln |f(z)|}$, ${\displaystyle |f(z)|^{p}}$ при ${\displaystyle p\geqslant 0}$, где ${\displaystyle f(z)}$ — голоморфная функция в ${\displaystyle D}$.

Связанные определения

Функция ${\displaystyle v(z)}$ называется плюрисупергармонической функцией, если ${\displaystyle -v(z)}$ есть плюрисубгармноническая функция.

Свойства

Плюрисубгармонические функции являются субгармоническими, но при ${\displaystyle n>1}$ обратное не верно.

Помимо общих свойств субгармонических функций, для плюрисубгармонических функций справедливы следующие:

• ${\displaystyle u(z)}$ есть плюрисубгармоническая функция в области ${\displaystyle D}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle u(z)}$ — плюрисубгармоническая функция в окрестности каждой точки ${\displaystyle z\in D}$;
• линейная комбинация плюрисубгармонических функций с положительными коэффициентами есть плюрисубгармоническая функция;
• пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей плюрисубгармонических функций суть плюрисубгармоническиe;
• для любой точки ${\displaystyle z_{0}\in D}$ среднее значение

${\displaystyle \oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u}$

по сфере радиуса ${\displaystyle r}$, есть возрастающая функция по ${\displaystyle r}$, выпуклая относительно ${\displaystyle \ln r}$ на отрезке ${\displaystyle 0<r<R}$, если шар ${\displaystyle B_{R}(z_{0})}$ расположен в ${\displaystyle D}$;

• при голоморфных отображениях плюрисубгармоническая функция переходит в плюрисубгармоническую;
• если ${\displaystyle u(z)}$ — непрерывная плюрисубгармоническая функция в области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ — замкнутое связное аналитическое подмножество ${\displaystyle D}$ и сужение ${\displaystyle u|_{E}}$ достигает максимума на ${\displaystyle E}$, то ${\displaystyle u(z)=\mathrm {const} }$ на ${\displaystyle E}$.

См. также

• Плюригармоническая функция

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука, 1976. — 720 с.
• Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — Москва: Государственное издательство физико- математической литературы, 1963. — 428 с.