Сходимость по Борелю

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Определение

• Пусть дан числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}S_{k}=S,}$ где S_k — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.

• Пусть дан числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B^'-сходящимся), если существует интеграл:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}t^{n}=S}$

Пример

Рассмотрим ряд ${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.}$ Данный ряд является расходящимся для произвольного ${\displaystyle x\neq 0.}$ Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t}}{1-xt}},}$

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

Свойства

Пусть функция:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку ${\displaystyle P\in C}$ проведём отрезок ${\displaystyle OP}$ и прямую ${\displaystyle L_{p}\,,}$, которая проходит через точку Р перпендикулярно к ${\displaystyle OP}$. Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых ${\displaystyle L_{p}\,,}$ обозначим ${\displaystyle \Pi }$. Тогда граница ${\displaystyle \Gamma }$ области ${\displaystyle \Pi }$ называется многоугольником Бореля функции f(z), а область ${\displaystyle \Pi }$ её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

является B-сходящимся в области ${\displaystyle \Pi }$ и не является B-сходящимся в области ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ — дополнены до ${\displaystyle \Pi }$ .

См. также

• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю
• Сходимость по Эйлеру

Ссылки

• Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Borel Summation

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .