Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Сферические функции
Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Remove ads
Определение
Суммиров вкратце
Перспектива

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на сфере в трёхмерном пространстве:
- ,
где * обозначает комплексное сопряжение, — символ Кронекера.
Сферические функции имеют вид
- ,
где функции являются решениями уравнения
и имеют вид
Здесь — присоединённые многочлены Лежандра, а — факториал.
Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным здесь вводятся как
Решение уравнения Лапласа в сферических координатах есть так называемая шаровая функция, получаемая умножением сферической функции на решение радиального уравнения.
Remove ads
Вещественная форма
Суммиров вкратце
Перспектива

Для сферических функций форма зависимости от угла — комплексная экспонента. Используя формулу Эйлера, можно ввести вещественные сферические функции. Иногда их удобнее использовать в связи с тем, что они могут быть наглядно показаны на иллюстрациях, в отличие от комплексных. Однако значимое удобство комплексных функций (утрачиваемое при переходе к вещественным) состоит в независимости квадрата их модуля от угла .
Обратное преобразование:
Иногда вещественные сферические функции называют зональными, тессеральными и секториальными[1]. Функции с m > 0 зависят от угла как косинус, а с m < 0 — как синус.
Remove ads
Повороты

Рассмотрим поворот системы координат , на Углы Эйлера который преобрaзует единичный вектор в вектор . При этом углы вектора в новой системе координат выражаются через углы в старой системе координат следующим образом
В новой системе координат сферическая функция с индексами и будет представима в виде линейной комбинации всех функций с тем же номером и различными . Коэффициентами в линейной комбинации являются комплексно- сопряженные D-матрицы Вигнера[2]
Сферические функции с номером образуют базис неприводимого представления размерности группы вращений SO(3).
Remove ads
Разложение плоской волны по сферическим функциям
Суммиров вкратце
Перспектива
Комплексная экспонента может быть представлена в виде разложения по сферическим функциям
Здесь — сферическая функция Бесселя
Remove ads
Разложение произведений сферических функций
Суммиров вкратце
Перспектива
Разложения Клебша-Гордана для произведений двух сферических функций выглядят следующим образом [3]:
Remove ads
См. также
Примечания
Литература
Приложения
Ссылки
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads