Сфероид Маклорена

Сферо́ид Макло́рена — сплюснутый сфероид, возникающий в случае вращения самогравитирующего жидкого тела с однородным распределением плотности с постоянной угловой скоростью. Сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена, предположившего такую форму Земли в 1742 году^[1]. На самом деле Земля существенно менее сплюснута, поскольку не является однородной и обладает плотным железным ядром. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью эллипсоидальной фигуры вращения в состоянии равновесия, поскольку обладает постоянной плотностью.

Формула Маклорена

Основной источник: ^[2]

Квадрат угловой скорости (в единицах ${\displaystyle \pi G\rho }$) для сфероида Маклорена

Для сплюснутого сфероида с большой полуосью ${\displaystyle a}$ и малой полуосью ${\displaystyle c}$ угловая скорость ${\displaystyle \Omega }$ задаётся формулой Маклорена

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}}(3-2e^{2})\arcsin e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},}$

где ${\displaystyle e}$ является эксцентриситетом меридионального сечения сфероида, ${\displaystyle \rho }$ — плотность, ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная. Формула предсказывает два возможных типа фигуры равновесия при ${\displaystyle \Omega \rightarrow 0}$, одной из них является сфера (${\displaystyle e\rightarrow 0}$), другой является плоский сфероид (${\displaystyle e\rightarrow 1}$).

Максимальная угловая скорость возникает при эксцентриситете ${\displaystyle e=0{,}92995}$, значение квадрата максимальной угловой скорости равно ${\displaystyle \Omega ^{2}=0{,}449331\pi G\rho }$, то есть выше этой скорости фигуры равновесия не существует. Это противоречит наблюдательным данным. Причиной противоречия может быть наличие двух нереалистичных предположений: одно состоит в однородности распределения плотности, другое — в том, что форма поверхности представляет собой простую квадрику.

Момент импульса ${\displaystyle L}$ сфероида Маклорена задаётся выражением

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,}$

где ${\displaystyle M={\frac {4\pi }{3}}\rho a^{3}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ — масса сфероида, ${\displaystyle {\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}}$ — средний радиус, то есть радиус сферы такого же объёма, что и сфероид. В более простом выражении^[3]

${\displaystyle L={\frac {2}{5}}M\Omega a^{2}.}$

Кинетическая энергия сфероида^[3]

${\displaystyle K={\frac {1}{5}}M\Omega ^{2}a^{2}.}$

Устойчивость

Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом более 0,812670^[3] трёхосный эллипсоид Якоби^[англ.] с тем же моментом импульса обладает меньшей полной энергией. Если такой эллипсоид состоит из вязкой жидкости и не испытывает возмущений, способных нарушить симметрию вращения, то он вытянется и примет форму эллипсоида Якоби, при этом часть энергии перейдёт в тепловую форму. Для аналогичного сфероида из невязкой жидкости возмущения приведут к незатухающим колебаниям.

Сфероид Маклорена с эксцентриситетом более 0,952887^[3] динамически неустойчив. Даже если объект состоит из невязкой жидкости и не теряет энергию, малые возмущения будут расти по экспоненциальному закону. Динамическая неустойчивость подразумевает вековую неустойчивость^[4].