Сходимость почти всюду

У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость.

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру^[1].

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой, и ${\displaystyle f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} }$. Говорят, что ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится почти всюду, и пишут ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle \mu }$-п.в., если^[1]

${\displaystyle \mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0}$.

Терминология теории вероятностей

Если ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ есть вероятностное пространство, и ${\displaystyle Y_{n},Y}$ — случайные величины, такие что

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\right)=1}$,

то говорят, что последовательность ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ сходится почти наверное к ${\displaystyle Y}$^[2].

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
• Пусть ${\displaystyle f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )\;\forall n\in \mathbb {N} }$, где ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, и ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится почти всюду к ${\displaystyle f}$. Пусть также существует функция ${\displaystyle g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ такая, что ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq |g(x)|}$ для всех ${\displaystyle n}$ и почти всех ${\displaystyle x\in X}$ (суммируемая мажоранта). Тогда ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$, и ${\displaystyle f_{n}\to f}$ в ${\displaystyle L^{p}}$. Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в ${\displaystyle L^{p}}$. Например, последовательность функций ${\displaystyle n\chi _{[0,1/n]}}$ сходится к 0 почти всюду на ${\displaystyle [0,1]}$, но не сходится в ${\displaystyle L^{1}[0,1]}$.
• Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно^[3].
• Сходимость почти всюду на множестве конечной меры равносильна усиленному условию сходимости по мере. Рассмотрим множество ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$, для которых хотя бы один член ряда имеет номер, не меньший ${\displaystyle n}$, но его разность с ${\displaystyle f(x)}$ по модулю больше ${\displaystyle \sigma .}$ Предел при возрастающем ${\displaystyle n}$ меры множества ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ равен нулю для любого положительного ${\displaystyle \sigma }$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ стремиться к ${\displaystyle f}$ почти всюду на ${\displaystyle X}$. В формальной записи:

${\displaystyle \forall \sigma >0,\lim _{n\to \infty }\mu \left\{\bigcup _{k=n}^{\infty }\{x\in X:|f_{k}(x)-f(x)|>\sigma \}\right\}=0}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow f_{n}\xrightarrow {\quad \ } ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}f}$ на ${\displaystyle X.}$

При переходе от сходимости к первому условию важно, чтобы мера ${\displaystyle X}$ было конечна. Подразумевается, что мера счётно-аддитивна и полна.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle X_{0}\subseteq X}$ — множество точек, где последовательность функций не сходится к ${\displaystyle f(x)}$.

По определению предела в ${\displaystyle X_{0}}$ попадают те и только те точки, в которых для некоторого ${\displaystyle \sigma >0}$ из последовательности ${\displaystyle f_{n}(x)}$ можно выбрать подпоследовательность, не попадающую в ${\displaystyle \sigma }$-окрестность значения ${\displaystyle f(x)}$. При этом можно приблизить ${\displaystyle \sigma }$ некоторым положительным рациональным числом ${\displaystyle q.}$ Формализуя вышесказанное:

${\displaystyle X_{0}=\bigcup _{\sigma >0}\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }\left\{x\in X:|f_{k}(x)-f(x)|>\sigma \right\}}$ ${\displaystyle =\bigcup _{\sigma >0}\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(\sigma )}$ ${\displaystyle =\bigcup _{q\in \mathbb {Q} ^{+}}\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(q)}$, где ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}=\mathbb {Q} \cap (0;\infty ).}$

Отметим, что при любом ${\displaystyle \sigma >0}$ данное множество ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ содержит следующее ${\displaystyle R_{n+1}(\sigma ).}$

1. Предположим, что последовательность сходится почти всюду, то есть мера ${\displaystyle X_{0}}$ равна нулю. Но для любого ${\displaystyle \sigma }$ пересечение множеств ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ — подмножество ${\displaystyle X_{0}}$, так что мера этого пересечения в связи с полнотой меры также ноль. Но множества ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ сужаются — непрерывность меры влечёт доказываемое равенство:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(\sigma )=\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(\sigma )=0.}$

2. Обратно, пусть указанная в условии мера множеств стремится к нулю. Тогда эта мера конечна (хотя бы начиная с некоторого номера), и по свойству непрерывности меры при каждом положительном рациональном ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(q)=\lim _{n\to \infty }R_{n}(q)=0.}$

Значит, множество ${\displaystyle X_{0}}$ является объединением множеств меры ноль и в силу счётной-аддитивности меры само имеет меру ноль.

См. также

• Почти всюду