Сходимость по мере

Сходимость по ме́ре — вид сходимости измеримых функций, заданных на пространстве с мерой: последовательность почти всюду конечных измеримых вещественных функций ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$, заданных на пространстве с мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ сходится к ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ по мере ${\displaystyle \mu }$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ множество различающихся более, чем на ${\displaystyle \varepsilon }$ значений между функциями последовательности от ${\displaystyle f}$, стремится к мере нуль:

${\displaystyle \forall (\varepsilon >0)\lim \limits _{n\to \infty }\mu {\Big \{}x\in X\;{\Big |}\;\varepsilon \leqslant |f_{n}(x)-f(x)|{\Big \}}=0}$.

Сходимость по мере ${\displaystyle \mu }$ на измеримом множестве ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ — соответствующее свойство на ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \forall (\varepsilon >0)\lim \limits _{n\to \infty }\mu {\Big \{}x\in E\;{\Big |}\;\varepsilon \leqslant |f_{n}(x)-f(x)|{\Big \}}=0}$.

Локальная сходимость ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ по мере ${\displaystyle \mu }$ — сходимость на всех ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$; иногда в этом контексте о сходимости на ${\displaystyle X}$ говорят как о глобальной сходимости по мере. В случае конечной меры локальная и глобальная сходимость эквивалентны.

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений, принимающих значения в произвольных измеримых метрических пространствах; в частности, все основные свойства сходимости по мере сохраняются для сепарабельных банаховых пространств.

Стандартные обозначения (глобальной) сходимости по мере ${\displaystyle \mu }$^[1]: ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f}$, ${\displaystyle f_{n}\longrightarrow f(\mu )}$, ${\displaystyle f=\mu -\lim f_{n}}$.

Свойства

Последовательность ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ называется фундаментальной по мере ${\displaystyle \mu }$, если:

${\displaystyle \forall (\varepsilon >0)\lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{m\geqslant 1}\mu {\Big \{}x\in X\;{\Big |}\;\varepsilon \leqslant |f_{n+m}(x)-f_{n}(x)|{\Big \}}=0}$;

сходимость по мере и фундаментальность по мере эквивалентны^[2].

Если последовательность сходится по мере к ${\displaystyle f}$, то у неё существует подпоследовательность, сходящаяся почти всюду к ${\displaystyle f}$ (Рис). Если ${\displaystyle \mu X}$ конечна, то сходимость почти всюду к почти всюду конечной функции эквивалентна сходимости по мере (критерий сходимости по мере). Если же ${\displaystyle \mu X=\infty }$, то даже сходимость всюду, вообще говоря, не влечёт сходимости по мере.

Сходимость в среднем порядка ${\displaystyle p}$ (то есть сходимость в ${\displaystyle L^{p}}$, при ${\displaystyle p\geqslant 1}$) влечёт сходимость по мере к той же предельной функции; обратное, вообще говоря, неверно.

Посредством введения семейства псевдометрик ${\displaystyle \rho _{E}}$ над ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$:

${\displaystyle \rho _{E}(f_{1},f_{2})=\int \limits _{E}\min\{|f_{1}-f_{2}|,1\}\,d\mu }$

строится топологическое пространство, в котором локальная сходимость по мере эквивалентна сходимости в индуцированной этим семейством псевдометрик топологии.

Сходимость по вероятности

Поскольку вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — пространство с (вероятностной) мерой ${\displaystyle \mathbb {P} }$, то сходимость по мере естественным образом переносится на теорию вероятностей с сохранением всех общих свойств: последовательность случайных величин ${\displaystyle (X_{i})_{i=1}^{\infty }}$ сходится по вероятности ${\displaystyle \mathbb {P} }$ к случайной величине ${\displaystyle X}$, если^[3]:

${\displaystyle \forall (\varepsilon >0)\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} (|X_{n}-X|>\varepsilon )=0}$.

Стандартное обозначение: ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}X}$.

Если последовательность случайных величин ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по вероятности к ${\displaystyle X}$, то она сходится к ${\displaystyle X}$ и по распределению. Если последовательность случайных величин ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по вероятности к ${\displaystyle X}$, то для любой непрерывной функции ${\displaystyle f(x)}$ верно, что ${\displaystyle f(X_{n})\to f(X),n\to \infty }$. Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\to X+Y,n\to \infty }$. Теорема Слуцкого позволяет складывать и умножать сходящиеся по вероятности и по распределению функции.

Топологию сходимости по вероятности реализует метрика Цюй Фаня (Цюй Фань^[кит.], 1962)^[4]:

${\displaystyle {\mathfrak {K}}(X,Y)=\inf {\big \{}\varepsilon \mid \mathbb {P} (d(X,Y)<\varepsilon )<\varepsilon {\big \}}}$,

являющаяся минимальной по отношению к метрике Леви — Прохорова (Штрассен, 1965)^[5].