Тангенциальный треугольник

Тангенциальный треугольник (от лат. tangens — касательный) — конструкция, дающая новый треугольник по данному треугольнику.

Тангенциальный треугольник A_tB_tC_t и ортотреугольник A_hB_hC_h для треугольника ABC.

Если вокруг данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ описать окружность, то треугольник ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ образованный тремя прямыми касательными к окружности проведёнными через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ называется тангенциальным.

Координаты вершин

Трилинейные координаты вершин тангенциального треугольника

${\displaystyle A'=-a:b:c}$

${\displaystyle B'=a:-b:c}$

${\displaystyle C'=a:b:-c}$

Свойства

• Стороны тангенциального треугольника ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Вписанная в тангенциальный треугольник ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ окружность является описанной окружностью по отношению к данному треугольнику ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• И обратно: центр вписанной в тангенциальный треугольник ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ окружности совпадает с центром окружности, описанной около данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• Связь между углами тангенциального треугольника и данного треугольника ΔABC

  ${\displaystyle \ A'=\pi -2A;}$ ${\displaystyle \ B'=\pi -2B;}$ ${\displaystyle \ C'=\pi -2C.}$

• Для данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ его тангенциальный треугольник ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ и ортотреугольник ${\displaystyle \triangle A''B''C''}$ подобны.
• Площадь данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ равна среднему геометрическому между площадями тангенциального треугольника и ортотреугольника.
• Площадь тангенциального треугольника равна^[1]:

  ${\displaystyle S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}}$

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$; ${\displaystyle a,b,c}$ — его соответствующие стороны. Или^[2]

${\displaystyle S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\sec A\sec B\sec C|}$

• Стороны тангенциального треугольника равны^[2]

  ${\displaystyle a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}}$

  ${\displaystyle b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

  ${\displaystyle c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).

Замечательные точки

Следующая таблица даёт соответствие замечательных точек тангенциального треугольника с центрами исходного треугольника. X_n означает индекс замечательной точки в списке Кимберлинга^[3].

Xn	Центр тангенциального треугольника	Xn	Центр исходного треугольника
X2	центроид треугольника	X154	X3 чева-сопряженная точка к X6
X3	центр описанной окружности	X26	центр описанной окружности тангенциального треугольника
X4	ортоцентр	X155	собственный центр ортотреугольника
X5	центр девяти точек	X156	X5 тангенциального треугольника
X6	точка пересечения симедиан	X157	X6 тангенциального треугольника
X30	бесконечная точка прямой Эйлера	X1154	изогональное сопряжение точки X1141
X523	изогональное сопряжение точки X110	X1510	кросс-разность точек Наполеона

См. также

• Ортотреугольник
• Подерный треугольник