Точки Наполеона

Точки Наполеона в геометрии — пара специальных точек на плоскости треугольника. Легенда приписывает обнаружение этих точек французскому императору Наполеону I, однако его авторство сомнительно^[1]. Точки Наполеона относятся к замечательным точкам треугольника и перечислены в Энциклопедии центров треугольника как точки X(17) и X(18).

Название «точки Наполеона» применяется также к различным парам центров треугольника, более известных как изодинамические точки^[2].

Определение точек

Первая точка Наполеона

Первая точка Наполеона

Пусть ABC — любой треугольник на плоскости. На сторонах BC, CA, AB треугольника строим внешние правильные треугольники DBC, ECA и FAB соответственно. Пусть центроиды этих треугольников — X, Y и Z соответственно. Тогда прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке, и эта точка N1 является первой (или внешней) точкой Наполеона треугольника ABC.

Треугольник XYZ называется внешним треугольником Наполеона треугольника ABC. Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является правильным.

В Энциклопедии центров треугольника первая точка Наполеона обозначена как X(17).^[3]

• Трилинейные координаты точки N1:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}}$

• Барицентрические координаты точки N1:

${\displaystyle \left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)}$

Вторая точка Наполеона

Вторая точка Наполеона

Пусть ABC — любой треугольник на плоскости. На сторонах BC, CA, AB треугольника строим внутренние равносторонние треугольники DBC, ECA и FAB соответственно. Пусть X, Y и Z — центроиды этих треугольников соответственно. Тогда прямые AX, BY а CZ пересекаются в одной точке, и эта точка N2 является второй (или внутренней) точкой Наполеона треугольника ABC.

Треугольник XYZ называется внутренним треугольником Наполеона треугольника ABC. Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является правильным.

В Энциклопедии центров треугольника вторая точка Наполеона обозначена как X(18).^[3]

• Трилинейные координаты точки N2:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}}$

• Барицентрические координаты точки N2:

${\displaystyle \left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)}$

Две точки, тесно связанные с точками Наполеона — это точки Ферма (X13 и X14 в энциклопедии точек). Если вместо прямых, соединяющих центроиды равносторонних треугольников с соответствующими вершинами, провести прямые, соединяющие вершины равносторонних треугольников с соответствующими вершинами исходного треугольника, так построенные три прямые будут пересекаться в одной точке. Точки пересечения называются точками Ферма и обозначаются как F1 и F2. Пересечение прямой Ферма (то есть прямой, соединяющей две точки Ферма) и прямой Наполеона (то есть прямой, соединяющей две точки Наполеона) является точкой Лемуана треугольника (точка X6 в энциклопедии центров).

Свойства

• 

  Гипербола Киперта

Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три такие прямые пересекутся в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющих вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников)^[4].

Обобщения

Результат о существовании точек Наполеона может быть обобщён различным образом. При определении точек Наполеона мы использовали равносторонние треугольники, построенные на сторонах треугольника ABC, а затем выбирали центры X, Y и Z этих треугольников. Эти центры можно рассматривать как вершины равнобедренных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC с углом при основании π/6 (30 градусов). Обобщения рассматривают другие треугольники, которые, будучи построенными на сторонах треугольника ABC, имеют аналогичные свойства, то есть прямые, соединяющие вершины построенных треугольников с соответствующими вершинами исходного треугольника, пересекаются в одной точке.

Равнобедренные треугольники

Точка на гиперболе Киперта.

Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола проходит через вершины (A,B,C), ортоцентр (O) и центроид (G) треугольника.

Это обобщение утверждает:^[5]

Если три треугольника XBC, YCA и ZAB построены на сторонах треугольника ABC, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все построены с внешней стороны, либо все построены с внутренней стороны), то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке N.

Если общий угол при основании равен ${\displaystyle \theta }$, то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты.

• ${\displaystyle X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))}$
• ${\displaystyle Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))}$
• ${\displaystyle Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )}$

Трилинейные координаты точки N

${\displaystyle (\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))}$

Несколько частных случаев.

Значение ${\displaystyle \theta }$	Точка ${\displaystyle N}$
0	G, центроид треугольника ABC (X2)
π /2 (или, — π /2)	O, ортоцентр треугольника ABC(X4)
${\displaystyle \mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]}$[6]	Центр Шпикера (X10)
π /4	Внешняя точка Вектена(Vecten points) (X485)
— π /4	Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486)
π /6	N1, первая точка Наполеона (X17)
- π /6	N2, вторая точка Наполеона (X18)
π /3	F1, первая точка Ферма (X13)
- π /3	F2, вторая точка Ферма (X14)
- A (если A < π /2) π — A (если A > π /2)	Вершина A
- B (если B < π /2) π — B (если B > π /2)	Вершина B
- C (если C < π /2) π — C (если C > π /2)	Вершина C

Более того, геометрическое место точек N при изменении угла при основании треугольников ${\displaystyle \theta }$ между -π/2 и π/2 является гиперболой

${\displaystyle {\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0,}$

где ${\displaystyle x,y,z}$ — трилинейные координаты точки N в треугольнике.

История

Эта гипербола называется гиперболой Киперта (в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert), 1846—1934 ^[5]). Эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через точки A, B, C, G и O.

Замечание

Очень похожим свойством обладает Центр Шпикера. Центр Шпикера S является точкой пересечений прямых AX, BY и CZ, где треугольники XBC, YCA и ZAB подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ABC снаружи, имеющие один и тот же угол у основания ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]}$^[6].

Подобные треугольники

Обобщение точки Наполеона — частный случай

Чтобы три прямые AX, BY и CZ пересекались в одной точке, треугольники XBC, YCA и ZAB, построенные на сторонах треугольника ABC, не обязательно должны быть равнобедренными^[7].

Если подобные треугольники XBC, AYC и ABZ построены с внешних сторон на сторонах произвольного треугольника ABC, то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке.

Произвольные треугольники

Прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке даже при более слабых условиях. Следующее условие является одним из наиболее общих условий, чтобы прямые AX, BY и CZ пересекались в одной точке^[7].

Если треугольники XBC, YCA и ZAB построены с внешней стороны на сторонах треугольника ABC так, что

∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,

то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке.

Обобщение точки Наполеона

Об открытии точек Наполеона

Коксетер и Грейтцер формулируют теорему Наполеона следующим образом: Если равносторонние треугольники построены с внешней стороны на сторонах любого треугольника, то их центры образуют равносторонний треугольник. Они замечают, что Наполеон Бонапарт был немного математиком и имел большой интерес к геометрии, однако они сомневаются, что он был достаточно геометрически образован, чтобы открыть теорему, приписываемую ему^[1].

Самая ранняя сохранившаяся публикация с точками — статья в ежегодном журнале «The Ladies’ Diary» (Женский дневник, 1704—1841) в номере за 1825 год. Теорема входила в ответ на вопрос, посланный У. Резенфордом, однако в этой публикации Наполеон не упоминается.

В 1981 году немецкий историк математики Христоф Скриба (Christoph J. Scriba) опубликовал результаты исследования вопроса приписывания точек Наполеону в журнале Historia Mathematica^[8].

См. также

• Теорема Ван-Обеля
• Точка Ферма
• Точки Вектена — пара треугольных центров, построенных аналогично точкам Наполеона с использованием квадратов вместо равносторонних треугольников.