Температура Дебая

Температу́ра Деба́я — температура, при которой возбуждаются все моды колебаний в данном твёрдом теле. Дальнейшее увеличение температуры не приводит к появлению новых мод колебаний, а лишь ведёт к увеличению амплитуд уже существующих колебаний, то есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.

Зависимость теплоёмкости твёрдого тела от приведённой к температуре Дебая температуры^[1]

Температура Дебая — физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел — теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Введена в научный оборот в 1912 году П. Дебаем в его теории теплоёмкости (известной также как модель Дебая).

Температура Дебая определяется следующей формулой:

${\displaystyle \Theta _{D}={\frac {h\nu _{D}}{k_{B}}},}$

где ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка, ${\displaystyle \nu _{D}}$ — максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана.

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.

Физическая интерпретация

При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая, пропорциональна кубу температуры.

При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга — Пти, согласно которому теплоёмкость постоянна и равна ${\displaystyle 3Nrk_{B}}$, где ${\displaystyle N}$ — количество элементарных ячеек в теле, ${\displaystyle r}$ — количество атомов в элементарной ячейке, ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана.

При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов, количество атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой

${\displaystyle C_{V}(T)=3Nk_{B}f_{D}\left({\frac {\theta _{D}}{T}}\right)}$,

где ${\displaystyle \theta _{D}}$ — температура Дебая, а функция

${\displaystyle f_{D}(x)={\frac {3}{x^{3}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{4}e^{t}}{(e^{t}-1)^{2}}}{\textrm {d}}t}$

называется функцией Дебая.

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

${\displaystyle C_{V}(T)={\frac {12\pi ^{4}}{5}}Nk_{B}\left({\frac {T}{\theta _{D}}}\right)^{3}.}$

Оценка температуры Дебая

При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейный закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если ${\displaystyle q_{D}}$ — радиус такой сферы, то ${\displaystyle \omega _{D}=q_{D}s}$, где ${\displaystyle s}$ — скорость звука, называется частотой Дебая. Температура Дебая определяется из соотношения

${\displaystyle \hbar \omega _{D}=k_{B}\theta _{D}}$.

Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведены в таблице^[2]:

Алюминий 394 K Кадмий 120 K Хром 460 K Медь 315 K Золото 170 K Железо 460 K Галлий 240 K

Серебро 215 K Таллий 96 K Олово (белое) 170 K Олово (серое) 260 K Вольфрам 310 K Цинк 234 K Алмаз 2230 K[3][4]

Мышьяк 285 K Свинец 88 K Марганец 400 K Никель 375 K Платина 230 K Кобальт 385 K Гадолиний 152 K