Температурные функции Грина

Температурные функции Грина являются некоторой модификацией функций Грина для квантовомеханических систем с температурой отличной от нуля. Они удобны для вычисления термодинамических свойств системы, а также содержат информацию о спектре квазичастиц и о слабонеравновесных кинетических явлениях.

В системах со взаимодействием может быть построена соответствующая диаграммная техника для температурных функций Грина. Эта техника широко используется для изучения фазовых переходов (сверхпроводимость, сверхтекучесть, точка Кюри) в различных системах. Исследование подобных систем является нетривиальной задачей. Для описания самого механизма перехода и состояния ниже точки перехода модель невзаимодействующих частиц непригодна. Здесь решающую роль играет межчастичное взаимодействие. Учёт подобного взаимодействия значительно усложняет используемый математический аппарат. Аппарат температурных функций Грина можно развивать в двух эквивалентных формулировках: с помощью квантовомеханических операторов либо в методе функциональных интегралов. Одним из плюсов последнего метода является отсутствие проблем некоммутативности операторов поля и разного рода упорядочиваний. ^[1]

Операторный подход

Определение температурных функций Грина

Введём мацубаровские ${\displaystyle {\hat {\Psi }}}$ — операторы в «гейзенберговском представлении» соотношениями^[2]:

${\displaystyle {\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},}$ ${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}.}$

В более общем случае эти операторы могут иметь спиновые индексы. В этих формулах ${\displaystyle \tau }$ — вещественная переменная ${\displaystyle \tau \in (0,1/T)}$, поэтому операторы ${\displaystyle {\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )}$ и ${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )}$ не являются эрмитово-сопряженными, ${\displaystyle \mu }$ — химический потенциал системы, ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — гамильтониан системы, ${\displaystyle {\hat {N}}=\int d\mathbf {r} {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} ){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )}$ — оператор числа частиц. Операторы ${\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )}$ и ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} )}$ эрмитово-сопряженный операторы поля в шрёденгеровском представлении. Видно, что «гейзенберговское представление» мацубаровских операторов отличается от настоящего гейзенберговского представления заменой в последнем ${\displaystyle t\rightarrow -i\tau }$, то есть формально это можно понимать как переход ко мнимому времени. Температурная функция Грина определяется следующим образом:

${\displaystyle G(\tau ,\mathbf {r} _{1};\tau ',\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}T_{\tau }{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} _{1}){\hat {\Psi }}(\tau ',\mathbf {r} _{2})\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}\right\}}},}$

где символ ${\displaystyle T_{\tau }}$ означает «${\displaystyle \tau }$ — хронологизацию» — расположение операторов слева на право в порядке убывания ${\displaystyle \tau }$. В случае ферми-частиц перестановка между собой операторов приводит к изменению общего знака.^[3] С помощью этой функции можно вычислить число частиц как функцию химического потенциала, или химический потенциал, как функцию концентрации и температуры: ${\displaystyle N=\pm \int d\mathbf {r} G(\tau ,\mathbf {r}$ ;\tau +0,\mathbf {r} ).}

Случай свободных частиц

Гамильтониан свободной системы, выраженный через шрёдингеровские операторы поля, имеет вид^[4]:

${\displaystyle \quad {\hat {H_{0}}}=\int {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}\left(-{\frac {\Delta }{2m}}\right){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )d\mathbf {r} ,}$

в представлении вторичного квантования он же запишется следующим образом:

${\displaystyle {\hat {H_{0}}}=\sum \varepsilon _{0}(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {p} },\quad \varepsilon _{0}(\mathbf {p} )=p^{2}/2m,}$

что следует из определения ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$-операторов:

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} },\qquad {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{-i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}.}$

Температурная функция Грина свободных частиц в импульсно-«временном» представлении :

${\displaystyle G(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right),}$

здесь ${\displaystyle \xi _{0}(\mathbf {p} )=\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )-\mu ,\quad \beta =1/T.}$

Взаимодействующие частицы

Предположим, что на систему частиц не действуют внешние поля, а межчастичные взаимодействия носят парный характер. Гамильтониан системы представим в виде: ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{int}.}$ Введём мацубаровские операторы в представлении взаимодействия соотношениями^[5]:

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})},}$ ${\displaystyle {\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}.}$

Возмущённая часть гамильтониана выраженный через ${\displaystyle {\hat {\Phi }}}$ — операторы имеет вид:

${\displaystyle {\hat {H}}_{int}={\frac {1}{2}}\int \int d\mathbf {r_{1}} d\mathbf {r_{2}} {\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{1}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{1}} ,\tau )U(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} ){\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{2}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{2}} ,\tau ).}$

Через эти же операторы можно определить температурную функцию Грина:

${\displaystyle G(\tau _{1},\mathbf {r} _{1};\tau _{2},\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})\beta }T_{\tau }{\hat {\Phi }}(\tau _{1},\mathbf {r} _{1}){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau _{2},\mathbf {r} _{2})S(\beta )\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{T}}S(\beta )\right\}}},}$ ${\displaystyle S(\beta )=T_{\tau }\exp {\left(-\int \limits _{0}^{\beta }{\hat {H}}_{int}(\tau )d\tau \right)}.}$

Такая запись позволяет разложить экспоненту с возмущением и вычислять температурную функцию Грина в виде ряды, а каждый член ряда изображать графически в виде диаграммы.

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.

	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение
1	Сплошная линия		${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\tau _{1}-\tau _{2})}$
2	Сплошная линия		${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\tau _{2}-\tau _{1})}$
3	Волнистая линия		${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x_{1}-x_{2})=U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\delta (\tau _{1}-\tau _{2})}$
4	Изобразить все связные топологически неэквивалентные диаграммы с 2n вершинами и двумя внешними концами, причем в каждой вершине сходится две сплошные и одна волнистая линия.
5	Производится интегрирование по координатам (${\displaystyle d^{4}z=d\mathbf {r} d\tau }$) каждой вершины.
6	Полученное выражение умножается на ${\displaystyle (-1)^{n+F}}$, n-порядок диаграммы, F-число замкнутых фермионных петель в ней.

Пользуясь этими правилами изобразим поправку первого порядка по возмущению к температурной функции Грина взаимодействующих частиц. Для этого нужно ограничиться линейным членом в разложение экспоненты. Тогда, привлекая во внимание теорему Вика, нарисуем все связные (любые две точки на диаграмме можно соединить линией) диаграммы первого порядка:

gren1

Соответствующее аналитическое выражение, например, для диаграммы 2 запишется следующим образом:

${\displaystyle Diag_{2}(x-y)=-\iint d^{4}zd^{4}wG_{0}(x-z)G_{0}(z-w)G_{0}(w-y){\mathfrak {U}}(z-w).}$

Для расчётов координатное представление оказывается неудобным, поэтому всю диаграммную технику проще сформулировать в импульсно-частотном представлении, пользуясь обычными правилами фурье-анализа. В таком представлении аналитическое выражение рассматриваемой диаграммы примет вид:

${\displaystyle Diag_{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=-{\frac {T}{(2\pi )^{3}}}\sum \limits _{\omega _{m}}\int d\mathbf {p} _{1}G_{0}^{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})G_{0}(\mathbf {p} _{1},\omega _{m}){\mathfrak {U}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1},\omega _{n}-\omega _{m}),}$

где функция Грина свободной системы имеет вид^[6]:

${\displaystyle G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})={\frac {1}{i\omega _{n}-\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )+\mu }},}$ ${\displaystyle \omega _{n}=(2n+1)\pi T}$ — для фермионов, ${\displaystyle \omega _{n}=2n\pi T}$ — для бозонов.

Правила температурной диаграммной техники. Импульсно-частотное представление.

	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение
1	Сплошная линия		${\displaystyle G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})}$
3	Волнистая линия		${\displaystyle {\mathfrak {U}}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=U(\mathbf {p} )}$
4	Сопоставить линиям диаграммы внешние импульсы и частоты. Импульсы и частоты внутренних линий в каждой вершине должны удовлетворять законам сохранения ${\displaystyle \sum \mathbf {p} =0,\sum \omega =0}$
5	По всем независимым импульсам производится интегрирование, по частотам — суммирование.
6	Полученное выражение умножается на ${\displaystyle (-1)^{k}{\frac {T^{k}}{(2\pi )^{3k}}}(2s+1)^{F}(\mp )^{F}}$, k-порядок диаграммы, F-число замкнутых петель в диаграмме, s — спин частицы.

В простейшем случае (Л.Ландау) потенциал можно взять в виде ${\displaystyle U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\sim \delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}),,}$ что соответствует нулевому радиусу взаимодействия. Графически это соответствует стягиванию двух точек, которые соединены волнистой линией в одну.

Метод функционального интегрирования

При переходе от классической статистической механики к квантовой, интегрирование по канонически сопряженным переменным ${\displaystyle p,q}$ заменяется на след, то есть на сумму по состояниям.^[7] Таким образом, статистическая сумма квантовой системы с оператором Гамильтона ${\displaystyle {\hat {H}}}$ определяется как

${\displaystyle Z=Tre^{-\beta {\hat {H}}}=\sum \limits _{n}{\langle n\vert e^{-\beta {\hat {H}}}\vert n\rangle }.}$

Видно, что член под знаком суммы похож на матричный элемент оператора эволюции с точностью до замены ${\displaystyle t\rightarrow -i\beta }$. Этот матричный элемент дается формулой Фейнмана-Каца^[8]:

${\displaystyle \langle q_{2}\vert e^{-it{\hat {H}}}\vert q_{1}\rangle =\int \prod \limits _{t}{\frac {dp(t)dq(t)}{2\pi }}\exp {\left(i\int \limits _{0}^{t}\left(p{\dot {q}}-H(p,q)\right)dt\right)}.}$

Обратим внимание на то, что в функциональном интеграле величины ${\displaystyle p,q,H(p,q)}$ являются классическими функциями, и при дальнейших вычислениях не возникает проблемы с коммутационными соотношениями. Сделаем в этой формуле поворот Вика и отождествим ${\displaystyle q\sim \psi (x,\tau ),p\sim i\psi ^{+}(x,\tau )}$, тогда выражений для статистической суммы преобразится к виду:

${\displaystyle Z=\int \limits _{B.C.}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}e^{-S_{\beta }},\qquad B.C.={\begin{cases}\psi (x,\tau )=\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Bose}}\\\psi (x,\tau )=-\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Fermi}}\end{cases}},}$

где ${\displaystyle S_{\beta }}$ действие температурной теории, интегрирование ведётся по полям с соответствующими граничными условиями (B.C.) В случае идеального газа

${\displaystyle S_{\beta }^{0}=\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} \psi ^{+}(x,\tau )\left(\partial _{\tau }+{\frac {\Delta }{2m}}-\mu \right)\psi (x,\tau ).}$

Парное взаимодействие можно учесть в виде члена типа плотность-плотность^[9]

${\displaystyle S_{\beta }^{int}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )U(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\psi ^{+}(x',\tau )\psi (x',\tau ).}$

Как было сказано выше объекты ${\displaystyle \psi (x,\tau ),\psi ^{+}(x,\tau )}$ не являются полевыми операторами. В случае фермионов они являются грассмановыми функциями, что является наследием антисимметричности фермионных волновых функций.

Определение температурной функции Грина

Определим функцию Грина как среднее от произведения нескольких полей с весом ${\displaystyle \exp(-S_{\beta })}$.^[10] Так парная корреляционная функция даётся выражением

${\displaystyle G(x,x',\tau ,\tau ')=\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\frac {1}{Z}}\int \limits _{B.C.}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau )e^{-S_{\beta }},\quad S_{\beta }=S_{\beta }^{0}+S_{\beta }^{int}.}$

Для корректного определения этого объекта, как можно показать, нужно доопределение ${\displaystyle G(x,x',\tau =\tau ')=G(x,x',\tau =\tau '+0).}$

Случай свободных частиц

Вычислим функцию Грина для невзаимодействующих частиц. Как известно^[11], для этого нужно найти ядро оператора ${\displaystyle \left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)^{-1}}$ c учётом граничных условий, то есть решить уравнение

${\displaystyle \left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)G_{0}(x,x',\tau ,\tau ')=\delta (x-x')\delta (\tau -\tau ').}$

Уравнение элементарно решается в ${\displaystyle p-\tau }$ представлении

${\displaystyle G_{0}(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right).}$

Как видно, эта функция Грина совпадает с функцией Грина полученной с помощью мацубаровских операторов. Доопределение этой функции при совпадающих «временах» означает, что тета-функция в нуле равна нулю.

Взаимодействующие частицы

Рассмотрим, например, бозоны с межчастичным взаимодействием типа ${\displaystyle U(x-x')=\lambda \delta (x-x'),\lambda >0.}$ Для вычисления по теории возмущений разложим экспоненту со взаимодействием в ряд по параметру ${\displaystyle \lambda }$ и для простоты ограничимся первым порядком^[12]

${\displaystyle \langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}-{\frac {\lambda }{2}}\int \limits _{0}^{\beta }dt\int d\mathbf {y} {\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\left(\psi ^{+}(y,\tau )\psi (y,\tau )\right)^{2}\rangle }_{0}+O(\lambda ^{2}).}$

Построим соответствующую диаграммную технику

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.

	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение
1	Крест		${\displaystyle \psi ^{+}(x,\tau )}$
2	Точка		${\displaystyle \psi (x,\tau )}$
3	Пропагатор		${\displaystyle {\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}=G_{+,0}(x,x',\tau ,\tau ')}$
4	Пропагатор		${\displaystyle {\langle \psi (x',\tau ')\psi ^{+}(x,\tau )\rangle }_{0}=G_{0,+}(x',x,\tau ',\tau )}$
3	Вершина		${\displaystyle \left(\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )\right)^{2}}$
5	Домножить каждую вершину на ${\displaystyle (-\lambda /2)^{n}r/n!}$, где n-порядок диаграммы, r-симметрийный коэффициент-число топологически эквивалентных графов.
5	По всем координатам вершин производится интегрирование.

Изобразим в первом порядке все связные графы

graph+

.

Существует только одна диаграмма, для неё ${\displaystyle r=4}$. Соответствующее аналитическое выражение для поправки

${\displaystyle Diag=-2\lambda \int \limits _{0}^{\beta }dt\int dyG_{+,0}(x,y,\tau ,t)G_{+,0}(y,y,t,t)G_{+,0}(y,x',t,\tau '),}$

это выражение в точности совпадает с полученным ранее в операторном методе. Для рассматриваемого потенциала две диаграммы 1 и 2 становятся эквивалентными, поэтому для получения однопетлевого вклада, нужно выражение для одной из диаграмм умножить на 2. Конечно и в этом случае разумно перейти в импульсное представление. Правила построения диаграмм в импульсном представлении здесь такие же, как и ранее.