Теорема Алаоглу

Теорема Алаоглу — теорема функционального анализа, один из важнейших результатов о слабой топологии.

Находит применение в физике, при описании множества состояний алгебры наблюдаемых, а именно, что любое состояние может быть записано в виде выпуклой линейной комбинации так называемых чистых состояний.

Обычно в доказательстве идентифицирует единичный шар со слабой* топологией с замкнутым подмножеством произведения компактных множеств с топологией произведения. Как следствие теоремы Тихонова, это произведение и, следовательно, единичный шар внутри него компактны.

Формулировка

Замкнутый единичный шар двойственного пространства нормированного векторного пространства компактен в слабой* топологии.

История

Согласно Питчу, существует по меньшей мере 12 математиков, которые могут претендовать на эту теорему или её важного предшественника^[1]

• В 1912 году Эдуард Хелли доказал, что единичный шар непрерывного двойственного пространства ${\displaystyle C([a,b])}$ является счётно компактным в слабой* топологии^[2].
• В 1932 году Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном двойственном пространстве любого сепарабельного нормированного пространства секвенциально слабо* компактен^[2].
• Доказательство общего случая было опубликовано в 1940 году Леонидасом Алаоглу.