Теорема Барбье

Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика Ж. Барбье^[фр.], описывающая длину кривых постоянной ширины. Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.

Формулировка

Длина любой кривой постоянной ширины ${\displaystyle a}$ равна ${\displaystyle \pi a}$.

Доказательства

Существует несколько доказательств теоремы Барбье:

• Основанное на методах выпуклой геометрии. С одной стороны, выпуклая фигура является фигурой постоянной ширины ${\displaystyle a}$, тогда и только тогда, когда сумма Минковского её и её образа при центральной симметрии оказывается кругом радиуса ${\displaystyle a}$. С другой стороны, при сумме по Минковскому плоских выпуклых фигур их периметры складываются, периметр фигуры постоянной ширины равен половине периметра круга радиуса ${\displaystyle a}$, то есть ${\displaystyle \pi a}$.^[1]

• Основанное на теории вероятностей или формуле Крофтона. Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы. Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии ${\displaystyle d}$ друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной ${\displaystyle {\frac {L}{\pi d}}}$, где ${\displaystyle L}$ — периметр этой фигуры^[2][3]. Поскольку фигура постоянной ширины ${\displaystyle a}$ удовлетворяет условию этой теоремы для ${\displaystyle d=a}$, а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться ${\displaystyle \pi a}$.^[4]

Вариации и обобщения

• Теорема Барбье также выполняется для фигур постоянной ширины в плоскости Минковского.
• Формула Крофтона