Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном промежутке, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке ${\displaystyle f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.}$ Пусть также ${\displaystyle f(a)\neq f(b),}$ и без ограничения общности предположим, что ${\displaystyle f(a)=A<B=f(b).}$ Тогда для любого ${\displaystyle C\in [A,B]}$ существует ${\displaystyle c\in [a,b]}$ такое, что ${\displaystyle f(c)=C}$.

Доказательство

Рассмотрим функцию ${\displaystyle g(x)=f(x)-C.}$ Она непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle g(a)<0}$, ${\displaystyle g(b)>0.}$ Покажем, что существует такая точка ${\displaystyle c\in [a,b]}$, что ${\displaystyle g(c)=0.}$ Разделим отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ точкой ${\displaystyle x_{0}}$ на два равных по длине отрезка, тогда либо ${\displaystyle g(x_{0})=0}$ и нужная точка ${\displaystyle c=x_{0}}$ найдена, либо ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$ и тогда на концах одного из полученных промежутков функция ${\displaystyle g(x)}$ принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$, разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке ${\displaystyle c}$, либо получим последовательность вложенных отрезков ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$ по длине стремящихся к нулю и таких, что

${\displaystyle g(a_{n})<0<g(b_{n}).}$

Пусть ${\displaystyle c}$ - общая точка всех отрезков (согласно принципу Кантора, она существует и единственна) ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$, ${\displaystyle n=1,2,...}$ Тогда ${\displaystyle c=\lim a_{n}=\lim b_{n},}$ и в силу непрерывности функции ${\displaystyle g(x):}$

${\displaystyle g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).}$

Поскольку

${\displaystyle \lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),}$

получим, что ${\displaystyle g(c)=0.}$

Следствия

• (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть ${\displaystyle f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},}$ и ${\displaystyle \operatorname {sgn} (f(a))\neq \operatorname {sgn} (f(b)).}$ Тогда ${\displaystyle \exists c\in [a,b]}$ такое, что ${\displaystyle f(c)=0.}$
• В частности, любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

Замечание

• Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называют первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой^[1]. На самом деле они эквивалентны.^[2]

Обобщение

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$, определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}),}$ и функция ${\displaystyle f\in C(X).}$ Пусть ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},}$ и ${\displaystyle y_{1}<y_{2}.}$ Тогда

${\displaystyle \forall y\in [y_{1},y_{2}]\;\exists x\in X\;f(x)=y.}$

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

История

Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

См. также

• Теорема Вейерштрасса
• Свойство Дарбу