Теорема Вивиани

Теоре́ма Вивиа́ни — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. Названа по имени итальянского математика Винченцо Вивиани.

Сумма длин отрезков ${\displaystyle l+m+n}$ равна высоте равностороннего треугольника.

В части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до сторон утверждение может быть обобщено на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами.

Доказательство

Сумма площадей закрашенных треугольников равна площади равностороннего треугольника ABC

Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть ${\displaystyle \triangle ABC}$ — равносторонний треугольник, в котором ${\displaystyle h}$ — высота, ${\displaystyle s}$ — длина каждой из сторон. Точка ${\displaystyle P}$ выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ — расстояния от точки ${\displaystyle P}$ до сторон треугольника. Тогда площадь ${\displaystyle \triangle ABC}$ можно определить следующим образом:

${\displaystyle S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP},}$

из чего вытекают следующие соотношения для площадей треугольников:

${\displaystyle {\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}},}$

то есть:

${\displaystyle h=\ell +m+n.}$

Обратное утверждение также верно: если сумма расстояний от внутренней точки треугольника до сторон не зависит от положения этой точки, то треугольник равносторонний^[1].

Обобщения

Для примера обобщения теоремы Вивиани на многоугольники на рисунке изображён правильный семиугольник

Многоугольники

Сумма длин перпендикуляров ${\displaystyle d_{i},}$ опущенных из произвольной внутренней точки на стороны правильного многоугольника, не зависит от положения точки и равна произведению длины апофемы ${\displaystyle n}$ на число сторон ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle d_{i}=a_{p}\cdot n.}$

Это утверждение может быть доказано, аналогично равностороннему треугольнику, разбиением правильного многоугольника на треугольники. Если точка ${\displaystyle P}$ находится внутри ${\displaystyle n}$-угольника с вершинами ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n},}$ то отрезки ${\displaystyle PA_{1}\dots PA_{n}}$ делят многоугольник на ${\displaystyle n}$ треугольников с основаниями ${\displaystyle A_{1}A_{2},\ A_{2}A_{3}\ \dots ,\ A_{n}A_{1}}$ и площадь многоугольника равна сумме площадей всех треугольников. Так как основания малых треугольников одинаковы (это длина стороны ${\displaystyle n}$-угольника), то сумма площадей равна произведению суммы высот на половину стороны. Площадь многоугольника и длина половины стороны не зависят от положения ${\displaystyle P,}$ поэтому сумма высот треугольников также не зависит от положения ${\displaystyle P}$^[1].

Также справедливо утверждение, что сумма перпендикуляров, опущенных из произвольной внутренней точки на стороны параллелепипеда, а также на стороны равностороннего многоугольника или стороны многоугольника с равными углами не зависит от положения точки^[2].

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы произвольный выпуклый многоугольник имел постоянную сумму расстояний от любой внутренней точки до сторон, является существование трех неколлинеарных внутренних точек с равными суммами расстояний^[3].

Многогранники

В правильном многограннике, в частности, тетраэдре, сумма расстояний от внутренней точки до граней не зависит от положения точки

Сумма расстояний от внутренней точки выпуклого многогранника до его граней постоянна, если все грани многогранника имеют одинаковую площадь^[1]. Например, этим свойством обладают все тетраэдры с гранями одинаковой площади (то есть равногранные тетраэдры), а не только правильный тетраэдр^[1].

Приложения

Треугольник взрываемости тройной смеси метан-кислород-азот. Синяя прямая соответствует смесям метана с воздухом, красная линия отвечает стехиометрическому составу.
ВПВ — верхний предел взрываемости;
НПВ — нижний предел взрываемости;
ПК — пороговая концентрация взрываемости.

Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на трёхкомпонентные диаграммы^[англ.] путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить диаграммы воспламеняемости^[англ.].

В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.