Теорема Волда

Теорема Волда — утверждение математической статистики, согласно которому каждый слабо стационарный временной ряд можно представить в виде скользящего среднего бесконечного порядка ${\displaystyle \mathrm {MA} (\infty )}$. Такое представление называют представлением скользящим средним для временных рядов.

Установлена Херманом Волдом.

Формально:

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{t-j}+\eta _{t}}$,

где:

• ${\displaystyle Y_{t}}$ — рассматриваемый временной ряд,
• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ — белый шум на входе линейного фильтра ${\displaystyle \{b_{j}\}}$; также применяется термин «инновация» (англ. innovation)^[1]
• ${\displaystyle b_{j}}$ — последовательность коэффициентов скользящего среднего (параметров или весов)
• ${\displaystyle \eta _{t}}$ — детерминированная компонента; равна нулю, если у ${\displaystyle Y_{t}}$ нет трендов.

Коэффициенты ${\displaystyle b_{j}}$ удовлетворяют следующим условиям:

1. ${\displaystyle b_{0}=1}$
2. ряд ${\displaystyle b_{j}}$ сходится абсолютно: ${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|<\infty }$
3. отсутствуют члены с ${\displaystyle j<0}$
4. постоянны (не зависят от ${\displaystyle t}$)