Теорема Гаусса — Люка

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Гаусса (значения).

Теорема Гаусса — Люка даёт ограничения на корни производной многочлена с комплексными коэффициентами через корни самого многочлена.

Формулировка

Для произвольного не равного тождественно постоянной многочлена ${\displaystyle P(z)}$ с комплексными коэффициентами множество нулей его производной ${\displaystyle P'(z)}$ принадлежит выпуклой оболочке нулей многочлена ${\displaystyle P(z)}$.

О доказательстве

Доказательство теоремы опирается на следующее легко проверяемое утверждение: Если все корни многочлена ${\displaystyle P(z)}$ находятся в полуплоскости ${\displaystyle {\rm {Re}}\,z<0}$, тогда в области ${\displaystyle {\rm {Re}}\,z\geq 0}$ справедливо неравенство:

${\displaystyle {\rm {Re}}\,{P'(z) \over P(z)}>0}$,

из которого следует, что все корни производной также должны быть в полуплоскости ${\displaystyle {\rm {Re}}\,z<0}$.