Нуль функции

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции ${\displaystyle f}$, заданной формулой

${\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9\,.}$

Нули косинуса на интервале [-2π,2π] (красные точки)

${\displaystyle x=3}$ является нулём, поскольку

${\displaystyle f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0}$.

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является доказательство гипотезы о том, что все нули дзета-функции Римана лежат на двух прямых ${\displaystyle \operatorname {Im} s=0}$ и ${\displaystyle \operatorname {Re} s={\dfrac {1}{2}}}$.

Корень многочлена

Основная статья: Корень многочлена

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, с учётом их кратности. У кубического уравнения, как показано выше, всегда три комплексных корня, с учётом кратности. Все мнимые корни многочлена, если они есть, всегда входят сопряжёнными парами, только если все коэффициенты многочлена вещественны. Каждый многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

Комплексный анализ

Простой нуль голоморфной в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ функции ${\displaystyle f}$ — точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$, в некоторой окрестности которой справедливо представление ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})g(z)}$, где ${\displaystyle g}$ голоморфна в ${\displaystyle z_{0}}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка ${\displaystyle k}$ голоморфной в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ функции ${\displaystyle f}$ — точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$, в некоторой окрестности которой справедливо представление ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)}$, где ${\displaystyle g}$ голоморфна в ${\displaystyle z_{0}}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нули голоморфной функции изолированы.

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

• теорема Руше,
• теорема Мардена,
• Теорема Гаусса — Люка

Литература

• Нуль функции — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Weisstein, Eric W. Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.